Дифференциальные многообразия и связь с полями в физике высоких энергий Фундаментальная основа калибровочных теорий заключается в описании взаимодействий посредством геометрических структур, определяемых на дифференциальных многообразиях. Пространственно-временной континуум в общей теории относительности и фазовое пространство в квантовой теории поля естественным образом интерпретируются как гладкие многообразия, на которых определяются поля.
Пусть M — гладкое (дифференцируемое) многообразие размерности n. Калибровочные поля интерпретируются как сечения определённых векторных или расслоенных структур над M. Особенно важными являются главные расслоения и ассоциированные векторные расслоения.
Главные расслоения и калибровочные группы Главное расслоение P(M, G) с типичной структурной группой G — компактной лейевской группой — определяет пространство, в котором калибровочные потенциалы являются связностями. Локально P ≅ U × G, но глобально расслоение может быть не тривиальным.
Связность в главном расслоении описывается ????-значной 1-формой A ∈ Ω1(P, ????), где ???? — алгебра Ли группы G. Эта 1-форма трансформируется определённым образом при правом действии G и даёт калибровочный потенциал.
На физическом уровне, A — это калибровочное поле (напр., поле фотона в U(1)-теории, глюонное поле в SU(3)), а его кривизна — это тензор напряжённости поля.
Кривизна и калибровочные инварианты Кривизна связности, или полевая напряжённость, задаётся через 2-форму
$$ F = dA + \frac{1}{2}[A, A] \in \Omega^2(P, \mathfrak{g}) $$
и удовлетворяет структурному уравнению Бьянки:
DF = dF + [A, F] = 0.
На языке физических теорий F соответствует силовым компонентам поля: например, в случае электродинамики F = dA, а в нефизических теориях с ненулевым коммутатором — полноценный нелинейный объект. Из инвариантов, полученных из F, строятся лагранжианы калибровочных теорий:
$$ \mathcal{L}_{\text{gauge}} = -\frac{1}{4} \text{Tr}(F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}), $$
где след берётся по представлению алгебры Ли.
Калибровочные преобразования и геометрическое действие группы Калибровочные преобразования — это вертикальные автоморфизмы главного расслоения, т.е. сечения автоморфизмов, действующих по структуре группы G. Они трансформируют калибровочное поле по закону:
A ↦ g−1Ag + g−1dg,
где g : M → G — гладкое отображение, представляющее калибровочную трансформацию.
Это не просто абстрактное преобразование — оно отражает избыточность описания: физически наблюдаемые величины должны быть инвариантны относительно действия G. Вся физическая динамика должна быть сформулирована в терминах таких инвариантов.
Связь с бозонами Янга-Миллса и геометрическое квантование Теории Янга-Миллса являются геометрически сформулированными теориями на главных расслоениях. Поля A и F интерпретируются как связность и её кривизна. Лагранжиан Янга-Миллса, сформулированный как квадрат нормы кривизны, является аналогом действия Эйнштейна-Гильберта в гравитации, но построенного на алгебре Ли.
Геометрическое квантование рассматривает фазовое пространство как симплектическое многообразие и использует связность с кривизной, пропорциональной симплектической форме. Это связывает дифференциальную геометрию и квантовую механику на фундаментальном уровне.
Фибрации, расслоения и бозоны Хиггса Бозон Хиггса, в рамках спонтанного нарушения симметрии, может быть интерпретирован как сечение ассоциированного векторного расслоения, приводящего к редукции структуры главного расслоения с G до подгруппы H. Это соответствует выбору вакуумной конфигурации, минимизирующей потенциал Хиггса и тем самым фиксирующей подгруппу симметрии.
Редукция структуры главного расслоения к подгруппе H означает выбор подрасслоения Q(M, H) ⊂ P(M, G), где H ⊂ G. Это геометрически отражает факт нарушения симметрии.
Дифференциальные формы, характерные классы и аномалии Инвариантные многочлены кривизны (через следы от произведений F ∧ F, F ∧ F ∧ F и т.д.) порождают характерные классы (черн-классы, классы Понтрягина), которые играют важную роль в описании топологических аспектов калибровочных теорий.
Особенно важными являются топологические инварианты, такие как число Черна:
$$ c_1 = \frac{i}{2\pi} \int \text{Tr}(F), $$
и вторая характеристическая форма:
∫Tr(F ∧ F),
которая лежит в основе квантовых аномалий, нарушающих классическую симметрию на квантовом уровне. Эти топологические объекты проявляются, например, в индексных теоремах (Атии — Зингера) и квантовой теории поля (аномалии типа ABJ).
Связность на расслоениях и теория гравитации Общая теория относительности, в рамках формализма тетрад (vierbein), также допускает геометрическую интерпретацию в терминах связностей и кривизн на расслоениях. Гравитационное поле — это связность на расслоении, структура которого может быть, например, группой Лоренца SO(1, 3), а кривизна — это тензор Римана.
Лагранжиан Эйнштейна в палатинском формализме:
ℒEH = ϵabcdea ∧ eb ∧ Rcd,
где ea — тетрады, а Rcd — 2-форма кривизны.
Этот подход позволяет объединить калибровочную и гравитационную теории в единой геометрической структуре.
Сверхсимметрия, супергруппы и надмногообразия Расширяя дифференциальную геометрию на супермногообразия (содержащие как бозонные, так и фермионные координаты), получаем геометрический фундамент для супергравитации и суперсимметричных калибровочных теорий. Здесь понятие связности и кривизны обобщается на суперсвязности и суперрасслоения.
Алгебры Ли заменяются на супералгебры, и вся калибровочная геометрия переносится в надструктуры. Это особенно важно для построения суперструнных моделей, где геометрия целевого пространства становится надмногообразием.
Формализм Бернса-Шимура и теория интегральных расслоений В квантовой теории поля важную роль играют не только локальные поля, но и глобальные топологические аспекты. Формализм Бернса-Шимура и обобщённые расслоения (например, герархии классов Делиня) позволяют описывать структуры, где калибровочное поле допускает квантование потоков. Это критично для топологических квантовых теорий поля, таких как теория Черна-Саймонса.
Черн-Саймонсовский функционал:
$$ S_{\text{CS}} = \int_M \text{Tr}\left(A \wedge dA + \frac{2}{3} A \wedge A \wedge A\right), $$
даёт топологическую инварианту на 3-многообразии и используется в описании калибровочной динамики без метрики. Такие конструкции применимы в квантовой гравитации и теории струн.
Теория расслоенных категорий и современная геометризация физических теорий Современное направление — использование расслоенных категорий (stack geometry) и ∞-категорий для описания обобщённых полей. Такие теории включают не только поля как сечения, но и поля более высокой размерности (2-поля, 3-поля), например, в теории B-поля и гербов (gerbes). Это фундаментально важно для описания двойственностей в теории струн и M-теории.
Таким образом, дифференциальная геометрия в сочетании с теорией расслоений, алгебрами Ли и топологией формирует неотъемлемую основу калибровочных теорий, обобщая физику высоких энергий до строго геометрического формализма, в котором взаимодействия — проявление симметрий, выраженных на языке связностей, кривизн и характерных классов.