Калибровочная инвариантность и спонтанное нарушение симметрии
В квантовой теории поля симметрии играют фундаментальную роль, определяя не только структуру взаимодействий, но и допустимую динамику полей. Калибровочная симметрия — это локальная (зависящая от точки пространства-времени) симметрия, при которой лагранжиан инвариантен относительно преобразований внутренней группы симметрии, зависящих от координат. Простейшим примером является теория электромагнетизма, обладающая U(1) калибровочной симметрией:
ψ(x) → eiα(x)ψ(x)
для фермионного поля ψ(x), при этом необходимо ввести калибровочное поле Aμ(x), чтобы сохранить инвариантность лагранжиана.
Более общая структура возникает при переходе к неабелевым симметриям, таким как SU(2), SU(3), где требуется вводить несколько калибровочных полей Aμa(x), отвечающих каждому генератору алгебры Ли группы. Соответствующее поле напряжённости записывается как:
Fμνa = ∂μAνa − ∂νAμa + gfabcAμbAνc
где fabc — структурные постоянные алгебры, а g — константа связи.
Ключевая особенность калибровочной инвариантности состоит в том, что прямое включение массового члена для векторного поля нарушает инвариантность. Так, добавление термина $\frac{1}{2}m^2 A_\mu A^\mu$ в лагранжиан делает теорию неинвариантной под калибровочными преобразованиями. Однако экспериментально известно, что калибровочные бозоны могут иметь массу (например, W и Z бозоны слабого взаимодействия). Это приводит к необходимости механизма генерации массы, совместимого с калибровочной симметрией.
Спонтанное нарушение симметрии возникает, когда лагранжиан инвариантен относительно некоторой симметрии, но вакуумное состояние этой симметрии не обладает. Классический пример — теория скалярного поля с потенциалом вида:
V(ϕ) = −μ2ϕ†ϕ + λ(ϕ†ϕ)2
с μ2, λ > 0. Минимум этого потенциала достигается при $|\phi| = \frac{\mu}{\sqrt{2\lambda}} \neq 0$, что приводит к множеству вакуумных состояний, неинвариантных относительно полной группы симметрии.
Если поле ϕ трансформируется под неприводимым представлением калибровочной группы, то выбор конкретного вакуума нарушает симметрию, и появляются новые степени свободы — бозоны Голдстоуна. Однако в случае локальной симметрии эти бозоны “поглощаются” калибровочными полями, придавая им массу: механизм Хиггса.
Для наглядности рассмотрим абелевую теорию с калибровочной группой U(1) и комплексным скалярным полем ϕ(x), взаимодействующим с калибровочным полем Aμ(x). Лагранжиан имеет вид:
$$ \mathcal{L} = (D_\mu \phi)^\dagger (D^\mu \phi) - V(\phi) - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} $$
где Dμ = ∂μ − igAμ, а потенциал имеет мексиканскую шляпу:
V(ϕ) = −μ2ϕ†ϕ + λ(ϕ†ϕ)2
После выбора вакуума $\langle \phi \rangle = v/\sqrt{2}$, где $v = \mu/\sqrt{\lambda}$, разложение поля ϕ(x) вокруг вакуума даёт:
$$ \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}(v + h(x)) e^{i\theta(x)/v} $$
Подставляя это в лагранжиан и проводя калибровочное преобразование, можно перейти к калибровке, где θ(x) устраняется — так называемая калибровка Унитарного калибра. Тогда лагранжиан содержит член:
$$ \frac{1}{2}g^2 v^2 A_\mu A^\mu $$
что эквивалентно массовому термину для калибровочного поля с массой mA = gv. При этом скалярное поле h(x) описывает реальный физический бозон Хиггса.
В Стандартной модели используется калибровочная группа SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y. Механизм Хиггса применяется к подгруппе SU(2)L × U(1)Y, описывающей электрослабое взаимодействие. Скалярное поле Хиггса Φ — SU(2) дублет с гиперзарядом Y = 1, и его вакуумное значение:
$$ \langle \Phi \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ v/\sqrt{2} \end{pmatrix} $$
нарушает симметрию SU(2)L × U(1)Y → U(1)em, обеспечивая массы W и Z бозонам, но оставляя фотон безмассовым.
После спонтанного нарушения симметрии физические массы калибровочных бозонов:
$$ m_W = \frac{1}{2} g v,\quad m_Z = \frac{1}{2}\sqrt{g^2 + g'^2} v $$
где g и g′ — константы связи SU(2) и U(1) соответственно, а фотон остаётся безмассовым как носитель калибровочной симметрии U(1)em.
Поле Хиггса не только отвечает за генерацию масс векторных бозонов, но также взаимодействует с фермионами посредством юкавских взаимодействий, которые имеют вид:
ℒY = −yfψ̄LΦψR + h.c.
После нарушения симметрии это приводит к появлению массового члена:
$$ m_f = y_f \frac{v}{\sqrt{2}} $$
что демонстрирует, что массы фермионов в Стандартной модели также зависят от механизма Хиггса. Значение v ≈ 246 ГэВ определяется из измерений массы W-бозона и константы Ферми.
В 2012 году экспериментальное открытие бозона Хиггса с массой около 125 ГэВ подтвердило центральную роль механизма спонтанного нарушения симметрии в Стандартной модели.
Калибровочная инвариантность не только диктует форму взаимодействий, но и строго ограничивает возможные лагранжианы: допустимыми являются только те взаимодействия, которые сохраняют локальную симметрию. Это позволяет естественным образом классифицировать фундаментальные взаимодействия: сильное (группа SU(3)), слабое и электромагнитное (SU(2)×U(1)). Спонтанное нарушение симметрии позволяет описать явления, наблюдаемые при низких энергиях, без явного отказа от калибровочной симметрии в фундаментальном лагранжиане.
Особенность спонтанного нарушения симметрии в калибровочных теориях заключается в том, что симметрия остаётся в лагранжиане, а нарушается только состоянием вакуума. Это обеспечивает теоретическую непротиворечивость и обоснованность теории, в частности, сохраняется ренормализуемость, как было строго доказано в 1970-х годах.
Современное понимание калибровочных теорий основывается на дифференциальной геометрии. Калибровочное поле интерпретируется как связь в расслоении с группой Ли G, а поле напряжённости — как кривизна этой связи. Калибровочные преобразования соответствуют изменениям локальных сечений. Механизм Хиггса интерпретируется как редукция главного расслоения до подгруппы стабилизатора вакуума.
Это позволяет обобщать калибровочные теории в более абстрактные конструкции, включая теории Янга–Миллса на произвольных многообразиях, супергравитацию и теорию струн, где калибровочная симметрия и её спонтанное нарушение приобретают новые физические значения.