Формализм нейтринных осцилляций
Пусть нейтрино производится в процессе слабого взаимодействия с определённым лептонным ароматом, например, электронное нейтрино νe. При этом оно не является собственным состоянием гамильтониана, если массы нейтрино не равны. В случае смешивания нейтрино с различными массами, ароматные состояния να (где α = e, μ, τ) выражаются через собственные массовые состояния νi (где i = 1, 2, 3) следующим образом:
$$ |\nu_\alpha\rangle = \sum_{i=1}^{3} U_{\alpha i}^* |\nu_i\rangle $$
где Uαi — элементы унитарной матрицы смешивания Понтекорво–Макияна–Накая (PMNS-матрицы). Эта матрица играет роль аналогичную CKM-матрице для кварков.
Массовые состояния эволюционируют во времени по фазе:
|νi(t)⟩ = e−iEit|νi⟩
Следовательно, ароматное состояние, испущенное в момент времени t = 0, будет в момент t записано как:
|να(t)⟩ = ∑iUαi*e−iEit|νi⟩
Вероятность того, что это состояние будет обнаружено как нейтрино другого аромата β, равна квадрату амплитуды перехода:
Pα → β(t) = |⟨νβ|να(t)⟩|2 = |∑iUαi*e−iEitUβi|2
Для релятивистских нейтрино (энергия много больше массы) можно воспользоваться приближением:
$$ E_i \approx p + \frac{m_i^2}{2p} $$
Тогда фаза эволюции становится:
$$ e^{-i E_i t} \approx e^{-i \left(p + \frac{m_i^2}{2p} \right)t} = e^{-i p t} e^{-i \frac{m_i^2}{2p} t} $$
Учитывая, что L ≈ t и опуская общую фазу e−ipt, которая не влияет на вероятность, получаем:
$$ P_{\alpha \to \beta}(L) = \left| \sum_{i} U_{\alpha i}^* U_{\beta i} e^{-i \frac{m_i^2}{2E} L} \right|^2 $$
Здесь L — расстояние, пройденное нейтрино, E — энергия нейтрино.
Двухнейтринный случай
Наиболее простая и наглядная ситуация возникает при рассмотрении двух поколений нейтрино. Пусть есть только νe и νμ, и два массовых состояния ν1, ν2. Тогда PMNS-матрица:
$$ U = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$
Амплитуда перехода νe → νμ будет:
$$ A_{e \to \mu}(L) = \cos\theta(-\sin\theta) e^{-i \frac{m_1^2}{2E}L} + \sin\theta\cos\theta e^{-i \frac{m_2^2}{2E}L} $$
$$ = \cos\theta\sin\theta \left( e^{-i \frac{m_2^2}{2E}L} - e^{-i \frac{m_1^2}{2E}L} \right) $$
$$ P_{e \to \mu}(L) = |A_{e \to \mu}|^2 = \sin^2(2\theta) \sin^2\left( \frac{\Delta m^2 L}{4E} \right) $$
где Δm2 = m22 − m12. Эта формула показывает типичную осцилляционную зависимость от расстояния и энергии.
Масштабы и наблюдение осцилляций
Типичное расстояние осцилляции (длина осцилляции) определяется как:
$$ L_{\text{osc}} = \frac{4\pi E}{\Delta m^2} $$
В естественных единицах (энергия в МэВ, длина в метрах):
$$ \sin^2\left( \frac{\Delta m^2 L}{4E} \right) \approx \sin^2\left(1.27 \frac{\Delta m^2(\text{эВ}^2) L(\text{км})}{E(\text{ГэВ})} \right) $$
Таким образом, наблюдение осцилляций требует сопоставимого масштаба между расстоянием и энергией. Например, для солнечных нейтрино с энергией ~1 МэВ и Δm2 ∼ 10−5эВ2, длина осцилляций порядка ∼ 100 км — осцилляции реализуются внутри Солнца.
Трёхнейтринное смешивание
Полная PMNS-матрица для трёх поколений имеет вид:
$$ U = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c_{23} & s_{23} \\ 0 & -s_{23} & c_{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{13} & 0 & s_{13} e^{-i\delta} \\ 0 & 1 & 0 \\ -s_{13} e^{i\delta} & 0 & c_{13} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{12} & s_{12} & 0 \\ -s_{12} & c_{12} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
где cij = cos θij, sij = sin θij, δ — параметр CP-нарушения в лептонном секторе. Кроме того, если нейтрино являются майорановскими частицами, появляются ещё две майорановские фазы, не влияющие на осцилляции, но существенные для процессов, нарушающих число лептонов.
Нейтрино в веществе: эффект Михеева-Смирнова-Вольфенштейна (MSW)
При прохождении через вещество электронное нейтрино взаимодействует с электронами через обмен W-бозоном, в отличие от νμ и ντ, которые взаимодействуют только нейтрально. Это создает дополнительный эффективный потенциал:
$$ V = \sqrt{2} G_F N_e $$
где GF — постоянная Ферми, Ne — электронная плотность среды. Это приводит к модификации гамильтониана нейтринной системы в веществе:
$$ H = \frac{1}{2E} \begin{pmatrix} -\Delta m^2 \cos 2\theta + A & \Delta m^2 \sin 2\theta \\ \Delta m^2 \sin 2\theta & \Delta m^2 \cos 2\theta - A \end{pmatrix} $$
где A = 2EV. Эффективные параметры осцилляций в веществе — углы и массы — становятся функцией плотности среды. При определённых условиях возникает резонансное усиление осцилляций (MSW-резонанс), когда:
A = Δm2cos 2θ
Это критически важно для объяснения подавления потока солнечных нейтрино на Земле.
Экспериментальные подтверждения
Нейтринные осцилляции были подтверждены множеством экспериментов:
Текущие значения параметров смешивания и разностей масс:
Нерешённые вопросы
Несмотря на успехи, остаются ключевые открытые вопросы:
Эти задачи определяют научную программу будущих экспериментов — DUNE, Hyper-Kamiokande, JUNO, а также исследований безнейтринного двойного бета-распада.