Принцип соответствия утверждает, что новая теория должна воспроизводить результаты старой теории в области её применимости. В физике высоких энергий это означает, что квантовые теории поля (КТП), использующиеся для описания фундаментальных взаимодействий, должны в соответствующих пределах воспроизводить результаты классической физики, нерелятивистской квантовой механики и известных эффективных теорий.
Это требование реализуется на нескольких уровнях:
В квантовой механике, при больших квантовых числах n ≫ 1, средние значения квантовых наблюдаемых начинают вести себя согласно законам классической механики. В КТП аналогичная ситуация возникает при рассмотрении квантового поля в пределе малых флуктуаций. Классическое уравнение движения поля извлекается из принципа действия через уравнение Эйлера — Лагранжа:
$$ \frac{\delta S[\phi]}{\delta \phi} = 0 $$
где S[ϕ] — действие системы. В пределе ℏ → 0 функциональный интеграл по полю ϕ вырождается в классическое решение, поскольку экспонента eiS[ϕ]/ℏ быстро осциллирует, и вклад в интеграл даёт только экстремум действия.
В теории возмущений это приводит к тому, что на классическом уровне учитываются только диаграммы дерева, в то время как петлевые поправки являются квантовыми эффектами порядка ℏ. Таким образом, принцип соответствия обеспечивает сведение КТП к классической теории на макроскопическом уровне.
В квантовой хромодинамике (КХД) при высоких энергиях имеет место асимптотическая свобода: взаимодействие кварков становится слабым. Однако при низких энергиях (E ≪ ΛQCD ∼ 200 МэВ) применима не сама КХД, а эффективная теория — хиральная теория взаимодействия пионов, основанная на спонтанном нарушении симметрии SU(2)L × SU(2)R. Переход от КХД к хиральной теории — реализация принципа соответствия через интегрирование по степеням свободы тяжелых кварков и глюонов.
Аналогично, в электрослабой теории при энергиях ≪ MW, MZ, взаимодействие переходит в квантовую электродинамику (КЭД), где массивные калибровочные бозоны интегрируются, и остаётся эффективный лагранжиан для фотона и лёгких фермионов.
Теории с высокоспиновыми частицами, такие как теории струн или суперсимметрии с расширенной SUSY-алгеброй, обязаны при низких энергиях и низких значениях спина воспроизводить стандартную модель частиц. Например, массовый спектр в теории струн содержит массу состояний с растущими значениями спина, но при энергиях ниже шкалы струн (Ms) остаются только бозоны спина 1 и фермионы спина 1/2, что соответствует частицам Стандартной модели.
Переход между теориями с разными калибровочными группами также подчинён принципу соответствия. К примеру, теория великого объединения на группе SU(5) должна при энергиях E ≪ MGUT воспроизводить взаимодействия Стандартной модели с группой SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y. Это осуществляется через спонтанное нарушение симметрии и механизмы Хиггса, приводящие к разложению представлений SU(5) на мультиплеты SM.
Кроме того, требования на бегущие постоянные связаны с этим принципом. Их слияние при высоких энергиях, наблюдаемое в супергравитационных или суперсимметричных теориях, также должно быть согласовано с их значениями при низких энергиях, определяемыми экспериментально.
Взаимосвязь между квантовой теорией поля и гравитацией особенно ярко проявляется в подходе АдиС/КХТ-соответствия. Голографическая дуальность устанавливает эквивалентность между теорией гравитации в пространстве Anti-de Sitter и конформной теорией на его границе. Принцип соответствия здесь реализуется в переходе от полной теории струн в пространстве AdS к CFT на границе при определённых параметрах, таких как большой предел числа цветов N → ∞ и сильная связь в теории поля.
Примеры:
Спонтанное нарушение симметрий также подчиняется принципу соответствия. Например, если в теории есть глобальная симметрия G, спонтанно нарушенная до подгруппы H, то низкоэнергетическая теория должна содержать безмассовые бозоны Голдстоуна, соответствующие косет-пространству G/H. В таких теориях также возникают эффективные лагранжианы с параметрами, обусловленными исходной симметрией.
Аналогично, при спонтанном нарушении суперсимметрии низкоэнергетическая теория содержит фермион Голдстоуна (голдино), и форма лагранжиана определяется симметрией суперпространства и её нарушением.
Ренормгрупповые уравнения описывают поведение физических величин при изменении масштаба. Функция бета (β(g)) контролирует эволюцию константы связи:
$$ \mu \frac{d g}{d\mu} = \beta(g) $$
Принцип соответствия требует, чтобы при переходе к низким энергиям интеграция по тяжёлым полям приводила к корректным значениям физических наблюдаемых. Это лежит в основе метода матчирования: параметры эффективной теории на низких энергиях (например, КЭД) должны быть «согласованы» с параметрами полной теории (например, ЭСТМ) так, чтобы давать одинаковые амплитуды рассеяния на границе между теориями.
Принцип соответствия ограничивает допустимые формы новых физических теорий. Например, при построении моделей новой физики (сверхсимметрия, теория струн, расширенные калибровочные группы, дополнительные измерения) требуется, чтобы:
Это приводит к важному понятию decoupling: тяжёлые степени свободы не должны влиять на низкоэнергетические процессы, за исключением подавленных поправок порядка 1/M2, где M — масса новой частицы.
Каждая попытка обобщения Стандартной модели начинается с требования соответствия:
Таким образом, принцип соответствия играет ключевую роль в структуре физических теорий, устанавливая связь между уровнями описания природы: от фундаментальных симметрий и квантовых флуктуаций — до макроскопических эффектов и экспериментально наблюдаемых величин.