В высокоэнергетической физике движения частиц зачастую происходят при скоростях, сравнимых со скоростью света. В этом случае необходимо применять специальную теорию относительности. Центральной в релятивистской кинематике является инвариантность интервала
s2 = c2t2 − r⃗2,
который остаётся неизменным при преобразованиях Лоренца. Вектор в пространстве Минковского — четырёхвектор — объединяет временную и пространственную компоненты:
xμ = (ct, r⃗).
Подобным образом вводится и четырёхимпульс:
$$ p^\mu = \left( \frac{E}{c}, \vec{p} \right), $$
для которого справедливо релятивистское соотношение:
$$ p^\mu p_\mu = \left( \frac{E}{c} \right)^2 - \vec{p}^2 = m^2 c^2, $$
где m — инвариантная масса покоя частицы. Это фундаментальное соотношение связывает энергию, импульс и массу частицы в любой инерциальной системе отсчёта.
При скоростях, близких к скорости света, классическое выражение для кинетической энергии становится неприменимым. Общая энергия частицы:
$$ E = \gamma m c^2, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, $$
где γ — фактор Лоренца. Соответственно, импульс:
p⃗ = γmv⃗.
Релятивистская кинетическая энергия определяется как разность полной энергии и энергии покоя:
T = E − mc2 = (γ − 1)mc2.
Это выражение показывает, что при v → c кинетическая энергия стремится к бесконечности, что отражает невозможность разгона массивной частицы до скорости света.
Для фотонов и других безмассовых частиц (m = 0) выражение для энергии упрощается:
E = pc.
Четырёхимпульс фотона: pμ = (E/c, p⃗), при этом pμpμ = 0. Все такие частицы движутся со скоростью c, и их динамика описывается исключительно через направление и величину импульса.
Важной системой отсчёта при рассмотрении столкновений является система центра масс (СЦМ), в которой суммарный трёхмерный импульс равен нулю:
∑p⃗i = 0.
Это даёт существенные упрощения при анализе релятивистских процессов. Общая энергия в СЦМ минимальна для заданного полного четырёхимпульса. В релятивистском случае энергия в СЦМ:
$$ E_{\text{CM}} = \sqrt{s}, $$
где s = (p1 + p2)2 — мандельстамовская переменная, которая инвариантна при преобразованиях Лоренца и определяется через суммы четырёхимпульсов.
В любой инерциальной системе отсчёта выполняется закон сохранения четырёхимпульса:
∑вхpiμ = ∑выхpjμ.
Это обеспечивает сохранение как энергии, так и трёхмерного импульса, и позволяет анализировать процессы в любой системе отсчёта, включая СЦМ, лабораторную или систему, связанную с одним из участников взаимодействия.
Рассмотрим распад покоящейся частицы массы M на две дочерние частицы с массами m1 и m2. В СЦМ они разлетаются в противоположные стороны. Используя закон сохранения четырёхимпульса, получаем:
$$ E_1 = \frac{M^2 + m_1^2 - m_2^2}{2M}, \quad E_2 = \frac{M^2 + m_2^2 - m_1^2}{2M}, $$
а соответствующий импульс:
$$ |\vec{p}| = \frac{\sqrt{[M^2 - (m_1 + m_2)^2][M^2 - (m_1 - m_2)^2]}}{2M}. $$
В случае безмассовых дочерних частиц (например, фотонов) m1 = m2 = 0, и E1 = E2 = M/2.
При релятивистских столкновениях двух частиц важным является определение минимальной энергии, необходимой для создания новых частиц. Пусть в лабораторной системе частица массы m сталкивается с неподвижной частицей такой же массы, и в результате образуется частица массы M. Тогда минимальная энергия налетающей частицы:
$$ E_{\text{min}} = \frac{M^2 - 2m^2}{2m}. $$
Если столкновение происходит в СЦМ, пороговая энергия будет просто равна массе создаваемой частицы: ECM = M.
Релятивистское преобразование углов и импульсов из СЦМ в лабораторную систему требует применения формул Лоренца. Пусть частица с импульсом p⃗* в СЦМ движется под углом θ*. Тогда в лабораторной системе угол:
$$ \tan \theta = \frac{\sin \theta^*}{\gamma (\cos \theta^* + \beta)}, $$
где β = v/c, v — скорость СЦМ относительно лабораторной системы. Это преобразование приводит к эффекту “сфокусированности” в направлении движения — релятивистскому лоренцевскому сжатию углового распределения.
Для анализа двухчастичных процессов широко используются инварианты Мандельстама:
s = (p1 + p2)2, t = (p1 − p3)2, u = (p1 − p4)2.
Эти переменные удобны для описания рассеяния и распадов, так как они инвариантны и связаны между собой:
s + t + u = ∑mi2,
где mi — массы участвующих частиц. Использование этих переменных облегчает вычисление сечений и построение диаграмм Фейнмана.
Для описания вероятности рассеяния частиц применяют дифференциальное сечение:
$$ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{1}{64 \pi^2 s} \cdot \frac{|\vec{p}_f|}{|\vec{p}_i|} \cdot |\mathcal{M}|^2, $$
где ℳ — матричный элемент амплитуды процесса, p⃗i, p⃗f — импульсы в начальном и конечном состоянии в СЦМ. Интегрируя по телесному углу, получаем полное сечение.
Релятивистская динамика тесно связана с симметриями пространства-времени. Инвариантность относительно преобразований Лоренца приводит к сохранению четырёхимпульса, а расширение симметрии до локальных калибровочных преобразований лежит в основе построения взаимодействий в Стандартной модели. Эти принципы позволяют формулировать лагранжианы взаимодействия, инвариантные под действием соответствующих групп (SU(3), SU(2), U(1)).
На практике релятивистская кинематика позволяет реконструировать события на детекторах, определять массы новых частиц, строить инвариантные массы систем и анализировать пики на графиках распределения событий. Правильное использование преобразований Лоренца и релятивистских инвариантов критически важно для интерпретации данных экспериментов на ускорителях, таких как LHC.