В квантовой теории поля (КТП) физические величины, вычисленные на основе лагранжиана, часто оказываются бесконечными. Эти расходимости появляются при вычислении квантовых поправок, особенно на петлевом уровне, где в интегралах по импульсному пространству возникают ультрафиолетовые (УФ) бесконечности. Такие расходимости не являются артефактами конкретных моделей, а отражают фундаментальную особенность КТП, связанную с континуумной природой поля и необходимостью учитывать флуктуации на всех масштабах.
Классическим примером является квантовая электродинамика (КЭД), где расчёт самодэнормализации электрона даёт бесконечный вклад в массу и заряд. Аналогично, поправки к вершинному взаимодействию приводят к бесконечным результатам. Эти расходимости необходимо устранить систематическим образом, сохранив при этом предсказательную силу теории.
Перед тем как устранить расходимости, необходимо их формализовать. Для этого вводится регуляризация — искусственный приём, позволяющий сделать расходимости явными, сохранив при этом симметрии теории. Основные методы:
Ограничение по отсечению (cut-off): интегралы по импульсам ограничиваются сверху масштабом Λ, выше которого вклад считается несущественным. Этот метод нагляден, но нарушает лоренцеву и калибровочную инвариантности.
Димензиональное регуляризация: аналитическое продолжение теории на нецелое число размерностей пространства-времени d = 4 − ε, где расходимости проявляются как полюса при ε → 0. Это наиболее универсальный метод, сохраняющий калибровочную инвариантность и лоренцеву симметрию.
Регуляризация Паули–Вилларса: введение вспомогательных полей с большими массами, компенсирующих расходимости в исходной теории.
После выбора схемы регуляризации можно перейти к следующему этапу — ренормализации.
Ренормализация заключается в том, что «сырые» (нефизические) параметры теории — масса, заряд, постоянные связи — заменяются на наблюдаемые величины, а расходимости поглощаются в перенормировку этих параметров. Формально:
ℒ(ϕ0, m0, g0) = ℒ(ϕ, m, g) + δℒ
где поля и параметры с индексом 0 — «голые», а δℒ содержит контрчлены, необходимые для устранения расходимостей.
Параметры ренормализации определяются условиями, накладываемыми на физические амплитуды. Это может быть, например, требование, чтобы масса частицы соответствовала полюсу её пропагатора, а заряд — амплитуде рассеяния при нулевом внешнем импульсе.
Ренормируемая теория — это такая, где достаточно конечного числа контрчленов для устранения всех расходимостей на всех порядках теории возмущений. Теории с более чем четырёхмерными взаимодействиями (например, ϕ6 в 4D) обычно оказываются неренормируемыми.
Наиболее экономичный подход к ренормализации реализуется в минимальной субтракции (MS): удаляются только расходимости в ε-полюсах при димрегуляризации, без учета конечных членов. В модифицированной MS-схеме (MS-bar) удаляются также некоторые универсальные логарифмы масштаба.
Это удобно при сравнении теоретических расчётов, поскольку исключает произвольность в определении конечных поправок. Однако такая схема не привязана напрямую к физически измеряемым величинам, и для интерпретации результатов необходима дополнительная «переводная таблица».
После ренормализации оказывается, что константы связи становятся зависимыми от внешнего масштаба μ, на котором проводится измерение. Это ключевое следствие квантовых флуктуаций, выражающееся в бета-функции:
$$ \beta(g) = \mu \frac{d g(\mu)}{d \mu} $$
Эта функция управляет группой ренормализационной перестройки (GRP), описывающей, как параметры теории эволюционируют при изменении масштаба энергии. Решение соответствующего дифференциального уравнения даёт бегущую константу связи.
Для квантовой электродинамики на 1-м петлевом уровне:
$$ \beta(e) = \frac{e^3}{12 \pi^2} $$
что означает, что эффективный заряд растёт с энергией. Это проявляется, например, в экранировании вакуумом: виртуальные фермионные пары частично компенсируют заряд, и чем ближе подходим к источнику, тем сильнее эффективное взаимодействие.
Для квантовой хромодинамики бета-функция на 1-м порядке:
$$ \beta(g_s) = -\left(11 - \frac{2}{3}n_f\right) \frac{g_s^3}{16\pi^2} $$
Здесь nf — число кварковых вкусов. Отрицательный знак означает, что взаимодействие ослабевает на больших энергиях: асимптотическая свобода, открытая Гроссом, Вильчеком и Политцером. Это фундаментальное свойство КХД объясняет, почему кварки ведут себя как свободные на высоких энергиях, но находятся в состоянии конфайнмента на низких.
С развитием формализма РГ выяснилось, что не только параметры теории, но и сами поля приобретают масштабную зависимость, выражающуюся через аномальные размерности. Если каноническая размерность поля ϕ равна dϕ(0), то полная размерность:
dϕ = dϕ(0) + γϕ
где γϕ — аномальная размерность, вычисляемая как производная от логарифма функции перенормировки Zϕ.
Это приводит к модификации масштабного поведения корреляторов. Например, в КХД корреляционные функции кварковых токов имеют нетривиальное масштабное поведение, и их использование в физике тяжёлых мезонов требует учёта аномальных размерностей.
Бета-функции позволяют также анализировать поведение теории при различных масштабах — в ИК и УФ областях. Фиксированные точки β(g*) = 0 соответствуют масштабно-инвариантным режимам. Поведение системы вблизи таких точек характеризуется критическими индексами и часто изучается в контексте фазовых переходов и критических явлений.
Например, в теории ϕ4 в 4-ε измерениях найден УФ-фиксированная точка, что позволяет описывать поведение системы вблизи второго рода фазового перехода. В случае КХД фиксированной точкой оказывается g = 0, соответствующая асимптотической свободе.
В более сложных моделях, таких как теория Янга–Миллса с фермионами при большом nf, возможны нетривиальные ИК-фиксированные точки (например, фиксированная точка Бэнкса–Закс), которые дают основание для построения конформных окон и сценариев «благородной» ультрафиолетовой завершённости.
Несмотря на то, что классическая теория может быть инвариантна относительно масштабных преобразований, квантовые эффекты, обусловленные регуляризацией и ренормализацией, могут нарушать эту симметрию. Возникающая масштабная аномалия приводит к тому, что сохраняющийся классически тензор энергии-импульса становится с ненулевым следом:
$$ \theta^\mu_{\ \mu} = \beta(g) \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial g} $$
Это наблюдается, например, в КХД, где даже в безмассовом пределе кварков след тензора энергии-импульса не исчезает. Это имеет глубокие следствия для построения масштабно-инвариантных моделей и для понимания структуры вакуума.
В задачах феноменологии высоких энергий, особенно при анализе данных с коллайдеров, важно учитывать масштабную эволюцию операторов эффективной теории. Используются уравнения РГ, чтобы определить, как коэффициенты операторов изменяются при переходе от одной шкалы к другой. Это необходимо при связывании процессов на шкале электрослабого разложения с масштабами, доступными эксперименту.
Например, при описании распада B-мезонов используются операторные разложения с бегущими коэффициентами Вильсона, которые зависят от масштаба и удовлетворяют уравнениям типа:
$$ \mu \frac{d C_i(\mu)}{d \mu} = \gamma_{ij} C_j(\mu) $$
где γij — матрица аномальных размерностей.
Современная точка зрения на ренормализацию смещается в сторону эффективных теорий поля (ЭТП). Даже неренормируемая теория может быть полезной, если использовать её как приближение, применимое в определённой области энергий. В этом случае в лагранжиан входят все возможные операторы, совместимые с симметриями, с коэффициентами, подавленными масштабами новой физики.
Пример — теория Ферми слабых взаимодействий, не ренормируема, но хорошо описывает процессы при энергиях ≪ MW. Полная ренормируемая теория — это Стандартная модель.
Таким образом, идея ренормализации расширилась до мощной концепции, связывающей квантовые флуктуации, масштабную зависимость и структуру взаимодействий при разных энергиях. Это один из краеугольных камней современной физики высоких энергий.