Решеточная квантовая хромодинамика

Основы решеточной квантовой хромодинамики

Квантовая хромодинамика (КХД) является фундаментальной теорией сильного взаимодействия, описывающей взаимодействие кварков и глюонов. Однако аналитическое решение КХД в области низких энергий — где сила взаимодействия велика — затруднено из-за нелинейной природы уравнений Янга-Миллса и сильной связи. Для изучения этой области была разработана численная, нерелятивистская формулировка КХД на пространственно-временной решетке — решеточная КХД (Lattice QCD).

Дискретизация пространства-времени

Основная идея решеточной КХД — замена непрерывного пространственно-временного континуума на конечную решетку с узлами, расположенными через шаг a (решеточную константу), так что размер решетки по каждому направлению равен L = Na, где N — число узлов. Пространственно-временная симметрия (Лоренцева инвариантность) нарушается, но восстанавливается в пределе a → 0.

Поля кварков размещаются в узлах решетки, а глюонные поля Aμ(x) заменяются на связывающие переменные Uμ(x), элементы группы SU(3), которые ассоциированы с ребрами решетки. Эти переменные можно интерпретировать как параллельные переносы (линейные транспортеры Вильсона), соединяющие соседние узлы:

Uμ(x) = exp (iagAμ(x))

Действие Вильсона для глюонов

Глюонная часть действия КХД на решетке формулируется в терминах петель Вильсона — минимальных замкнутых контуров на решетке (обычно плокеттов 1×1). Наиболее распространённая форма действия — действие Вильсона:

$$ S_G = \frac{\beta}{3} \sum_{x, \mu < \nu} \text{Re} \, \text{Tr} \left[1 - U_{\mu\nu}(x) \right] $$

где

Uμν(x) = Uμ(x)Uν(x + μ̂)Uμ†(x + ν̂)Uν†(x)

— элементарный плокет, а β = 6/g2 — безразмерная обратная константа связи.

Фермионные поля на решетке

Кварковые поля (фермионы) подвержены особенностям дискретизации. При наивной дискретизации возникает проблема удвоения фермионов: вместо одного фермиона в непрерывной теории на решетке возникает 16 (в 4 измерениях). Для решения этой проблемы используются различные подходы:

  • Фермионы Вильсона — добавляется член, подавляющий удвоенные моды, но при этом нарушается хиральная симметрия.
  • Фермионы Когена-Сазерленда (staggered fermions) — сохраняется часть хиральной симметрии, но остается 4 вырождения.
  • Доменные стенки и фермионы с перекрытием (overlap fermions) — обеспечивают точную хиральную симметрию на решетке, но чрезвычайно затратны вычислительно.

Фермионное действие Вильсона:

$$ S_F = a^4 \sum_x \bar\psi(x) \left[ m + \frac{4r}{a} \right] \psi(x) - \frac{1}{2a} \sum_{\mu} \left[ \bar\psi(x)(r - \gamma_\mu) U_\mu(x) \psi(x + \hat\mu) + \bar\psi(x + \hat\mu)(r + \gamma_\mu) U^\dagger_\mu(x) \psi(x) \right] $$

Путь к непрерывному пределу и определение физических величин

Физические величины получаются из корреляторов, усреднённых по ансамблю конфигураций полей. Ожидаемое значение наблюдаемой величины:

$$ \langle \mathcal{O} \rangle = \frac{1}{Z} \int \mathcal{D}U \mathcal{D}\bar\psi \mathcal{D}\psi \, \mathcal{O}(U, \psi, \bar\psi) e^{-S_G - S_F} $$

Интегрирование по фермионным полям приводит к детерминанту фермионного оператора:

$$ \langle \mathcal{O} \rangle = \frac{1}{Z} \int \mathcal{D}U \, \mathcal{O}(U) \det D[U] \, e^{-S_G[U]} $$

Численные методы, такие как алгоритм Hybrid Monte Carlo, используются для генерации выборки конфигураций глюонных полей с соответствующими весами. Из корреляционных функций извлекаются массы адронов, константы распада, матричные элементы и другие физические параметры.

Масштабная зависимость и ренормализация

Все вычисляемые на решетке величины выражаются в безразмерных единицах. Для перехода к физическим значениям необходимо установить шкалу, обычно по известной массе адрона (например, массы π-мезона, протона или параметра Z-босона). Также важен переход к непрерывному пределу a → 0, что требует серии симуляций на решетках с разными a и экстраполяции.

Решеточная КХД включает собственную ренормализацию: например, фермионные токи и плотности требуют соответствующего умножения на ренормализационные множители Z-факторы, которые могут быть найдены либо в неравновесной схеме RI/MOM, либо из сравнения с экспериментом.

Нейтральность к привязке к физическому времени

Решеточная КХД традиционно формулируется в евклидовом пространстве-времени (переход Вика), что делает возможным применение вероятностной интерпретации и Monte Carlo-методов. Обратный переход к вещественному времени в общем случае невозможен (проблема аналитического продолжения), поэтому описания неравновесных процессов, реальных временных эволюций и амплитуд рассеяния требуют дополнительных методик (например, методы реконструкции спектра, решая уравнение Фредгольма).

Характерные вычислительные особенности

Решеточная КХД требует огромных вычислительных ресурсов. Современные симуляции используют суперкомпьютеры, графические ускорители и специальные архитектуры (например, QPACE, BlueGene). Основная вычислительная нагрузка связана с инверсией фермионного оператора, что требует численного решения систем с разреженными матрицами большого размера.

Применения и достижения

Решеточная КХД успешно предсказывает и воспроизводит множество наблюдаемых параметров, в том числе:

  • Массы и спектры легких и тяжелых адронов;
  • Константы распада fπ, fK;
  • Аномалии, хиральные конденсаты;
  • Характеристики слабых распадов (например, B → D переходы);
  • Структурные функции и моменты распределений партонов;
  • Фазовые переходы в КХД (например, переход в кварк-глюонную плазму при высоких температурах).

Также ведутся активные исследования по определению θ-угла, изучению барионной материи при конечной плотности, явлений нарушения CP-симметрии, и проверки сценариев за пределами Стандартной модели.

Ограничения и текущие вызовы

Решеточная КХД сталкивается с несколькими фундаментальными и техническими ограничениями:

  • Проблема знака при конечной химической потенциале μ, мешающая прямым симуляциям барионной материи.
  • Ограничения по размерам решеток, особенно при стремлении к физическим массам лёгких кварков.
  • Высокая стоимость точных формализмов с хиральной симметрией (overlap, domain wall).
  • Сложности восстановления вещественно-временных корреляций и амплитуд.
  • Необходимость контролируемой экстраполяции a → 0 и mq → mqphys.

Тем не менее, решеточная КХД остается важнейшим инструментом в исследовании неэпертуравных свойств сильного взаимодействия, обеспечивая фундаментальную связь между абстрактной теорией КХД и наблюдаемыми параметрами физики адронов.

Оглавление