Дифференциальные и полные сечения в квантовой теории поля
В квантовой теории поля (КТП) сечение рассеяния — фундаментальная величина, описывающая вероятность взаимодействия между частицами. В рамках формализма КТП расчёт сечений позволяет установить количественные предсказания, сравниваемые с экспериментами на ускорителях.
Рассмотрим процесс рассеяния двух частиц:
a(p1) + b(p2) → X,
где X — произвольное конечное состояние с множеством частиц. Основой вычислений служит матричный элемент ℳfi, который извлекается из теоретической лагранжианы согласно правилам Фейнмана.
Сечение выражается через ℳfi следующим образом:
$$ d\sigma = \frac{1}{\text{поток}} \cdot |\mathcal{M}_{fi}|^2 \cdot d\Phi_n, $$
где dΦn — элемент фазового объёма конечного состояния, а поток — нормирующий множитель, зависящий от начальных импульсов.
Поток и нормировка начального состояния
В системе отсчёта центра масс (CMS) поток для двухчастичного рассеяния определяется как:
$$ F = 4\sqrt{(p_1 \cdot p_2)^2 - m_1^2 m_2^2}. $$
В нерелятивистском приближении это просто произведение плотности потока на относительную скорость.
Нормировка состояний вводится через волновые пакеты или в коробке объёма V, что приводит к дельта-функциям сохранения энергии и импульса:
(2π)4δ4(∑pinitial − ∑pfinal).
Фазовый объём конечного состояния
Для n-частичного выхода фазовый объём имеет вид:
$$ d\Phi_n = \left( \prod_{i=1}^n \frac{d^3 p_i}{(2\pi)^3 2E_i} \right) (2\pi)^4 \delta^4 \left(p_1 + p_2 - \sum_{i=1}^n p_i \right). $$
Этот интеграл многомерен и усложняется с увеличением числа частиц. Важную роль играет параметризация: для двух тел интеграл может быть аналитически вычислен, а для трёх и более — применяется монтекарловская генерация событий.
Полное и дифференциальное сечение
Полное сечение получается интегрированием дифференциального по всем кинематическим переменным:
σ = ∫dσ.
Дифференциальное по телесному углу:
$$ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{1}{64\pi^2 s} \frac{|\vec{p}_f|}{|\vec{p}_i|} |\mathcal{M}|^2, $$
где s = (p1 + p2)2, p⃗i, p⃗f — импульсы в CMS.
Сечения в калибровочных теориях: особенности и тонкости
Сечения процессов, описываемых Стандартной моделью, требуют аккуратного обращения с калибровочной инвариантностью. Например, в расчётах сечений с участием бозонов W и Z следует учитывать продольные поляризации, т.к. они доминируют при высоких энергиях:
$$ \sigma \sim \frac{g^4}{s} \quad \text{или} \quad \sigma \sim \frac{g^4 s}{M_W^4} \quad \text{в разных режимах}. $$
Особое значение имеет методика регуляризации и обрезания ультрафиолетовых и инфракрасных расходимостей: например, в квантовой электродинамике (КЭД) инфракрасная расходимость компенсируется включением процессов с эмиссией мягких фотонов:
σнаблюдаемая = σбез излучения + σс мягкими фотонами.
Формализм матричных элементов и правила Фейнмана
Матричный элемент ℳ строится по диаграммам Фейнмана, где каждая вершина, линия и петля соответствует определённым математическим выражениям. На уровне дерева (tree-level) вклад обеспечивают диаграммы без петель. Петлевые поправки включаются через регуляризацию (например, размерную) и перенормировку.
Для процесса, например, e+e− → μ+μ− на уровне дерева:
$$ \mathcal{M} = \bar{v}(p_2) \gamma^\mu u(p_1) \cdot \frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2} \cdot \bar{u}(k_1) \gamma^\nu v(k_2). $$
Далее берётся квадрат модуля, усредняется по спинам, интегрируется по фазовому объёму.
Сечения распадов и ширины
В случае нестабильных частиц ключевым понятием становится вероятность распада — ширина распада Γ, определяемая аналогично:
$$ \Gamma = \frac{1}{2M} \int |\mathcal{M}|^2 d\Phi_n, $$
где M — масса распадающейся частицы.
Для двухчастичного распада:
$$ \Gamma = \frac{|\vec{p}|}{8\pi M^2} |\mathcal{M}|^2. $$
Если ширина мала по сравнению с массой, резонанс описывается брейт-вигнеровской формой:
$$ \sigma(s) \sim \frac{1}{(s - M^2)^2 + M^2 \Gamma^2}. $$
Эта формула лежит в основе анализа пиков на графиках зависимости сечения от энергии и используется при идентификации частиц.
Факторизация и партионная структура в протон-протонных столкновениях
При описании процессов на коллайдерах типа LHC необходимо учитывать составные структуры адронов. Сечение имеет форму:
σ = ∑i, j∫dx1dx2 fi(x1, Q2)fj(x2, Q2) σ̂ij → X(x1x2s),
где fi(x, Q2) — функции распределения партонов (PDF), σ̂ — сечение на уровне элементарных взаимодействий.
Эта схема требует знания эволюции PDF (например, уравнения Докшицера–Гримова–Липатова–Альтпаризи) и точного вычисления матричных элементов.
Влияние поляризации и спиновых состояний
Во многих случаях необходимо учитывать поляризационные состояния частиц, особенно если они детектируются экспериментально. Например, для бозона Z возможен анализ распределений по углам между лептонными продуктами, чувствительный к структуре взаимодействия:
$$ \frac{d\sigma}{d\cos\theta} \propto 1 + \cos^2\theta + A_{\text{FB}} \cos\theta, $$
где AFB — параметр переднего-назадного асимметрии.
Сечения с участием виртуальных и реальных частиц
Виртуальные частицы не могут быть наблюдаемыми, однако вносят вклад в процессы через петлевые диаграммы или внутренние линии диаграмм рассеяния. Важную роль играют резонансные структуры — пики в сечении, соответствующие промежуточным виртуальным состояниям с массой близкой к нащупываемой энергии.
Пример: в e+e− → гадроны при энергии около 91 ГэВ наблюдается пик, соответствующий резонансу Z-бозона.
Современные методы вычисления сечений
Для вычислений на практике используются пакеты вроде MadGraph, FeynArts/FormCalc, CompHEP, CalcHEP, а также системы символьных вычислений Mathematica, FORM и др. Для генерации событий — Pythia, Herwig, Sherpa.
Также применяются методы амплитуд с использованием спинора Гельфанда–Яглома, гелициального формализма, BCFW-рекурсий и уравнений интегральной редукции, в частности IBP-методов (integration-by-parts) и униформизации петлевых интегралов.
Роль сечений в тестировании Стандартной модели
Сечения являются важнейшим источником информации о структуре взаимодействий и параметрах теории. Сравнение теоретических предсказаний с измеренными сечениями позволяет:
Эффективное использование сечений требует как высокой точности теоретических расчётов (NLO, NNLO), так и мощных статистических и машинных инструментов анализа экспериментальных данных.