Теория групп и симметрии

Основные понятия теории групп

Теория групп является фундаментальным математическим аппаратом, описывающим симметрии физических систем. В контексте физики высоких энергий группы симметрий играют решающую роль в построении калибровочных теорий, описании внутренних степеней свободы частиц и определении инвариантных взаимодействий.

Группа — это множество элементов с бинарной операцией, удовлетворяющей четырем аксиомам: замкнутости, ассоциативности, существованию единичного элемента и обратного элемента. Если операция коммутативна, группа называется абелевой. В физике важную роль играют как конечные, так и непрерывные (или непрерывные компактные Ли) группы.

Примеры:

• Группа поворотов SO(3) — описывает симметрии в трехмерном евклидовом пространстве.
• Группа U(1) — связана с симметрией электромагнитного поля.
• Группа SU(2) — лежит в основе слабого взаимодействия.
• Группа SU(3) — описывает симметрии квантовой хромодинамики (КХД).

Ли-группы и алгебры Ли

Непрерывные симметрии удобно описывать при помощи групп Ли — гладких многообразий, обладающих структурой группы. Каждой группе Ли соответствует алгебра Ли — линейное пространство с антикоммутативным билинейным оператором, удовлетворяющим тождеству Якоби.

Алгебры Ли можно изучать с помощью генераторов, коммутирующих по определенным соотношениям:

[T^a, T^b] = if^abcT^c

где T^a — генераторы, f^abc — структурные постоянные группы.

Пример: для SU(2) генераторы $T^i = \frac{1}{2} \sigma^i$, где σⁱ — матрицы Паули.

Представления групп и частицы

Представление группы — это отображение элементов группы в матрицы, действующие на векторное пространство. В физике частицы классифицируются по неприводимым представлениям групп симметрий.

Для группы SU(2), неприводимые представления характеризуются полуцелым спином j, соответствующим числу компонент векторного пространства 2j + 1.

В Стандартной модели элементарные фермионы (кварки и лептоны) и бозоны (векторные калибровочные частицы) представляют различные представления групп SU(3)_C × SU(2)_L × U(1)_Y. Например:

• Левый фермионный дублет: (ν_e, e)_L ∼ (1, 2, −1)
• Глюоны: аджоинтное представление SU(3)
• Электрон: (1, 1, −2)

Калибровочные симметрии

Калибровочные симметрии являются локальными симметриями, при которых параметры преобразования зависят от координат пространства-времени. Основополагающий принцип заключается в том, что лагранжиан теории должен быть инвариантен относительно таких преобразований.

Для обеспечения этой инвариантности вводятся калибровочные поля, которые трансформируются таким образом, чтобы компенсировать изменение производных. Ковариантная производная:

D_μ = ∂_μ − igT^aA_μ^a

где A_μ^a — калибровочные поля, g — постоянная связи.

Калибровочная симметрия определяет структуру взаимодействий:

• U(1)_Y: электромагнитное взаимодействие (фотон)
• SU(2)_L: слабое взаимодействие (бозоны W^±, Z⁰)
• SU(3)_C: сильное взаимодействие (глюоны)

Спонтанное нарушение симметрии

Спонтанное нарушение симметрии (СНС) — это ситуация, при которой лагранжиан инвариантен, но вакуумное состояние не сохраняет симметрию. Важнейший пример — механизм Хиггса.

Пусть скалярное поле ϕ обладает симметрией U(1) и потенциалом:

V(ϕ) = μ²|ϕ|² + λ|ϕ|⁴,  μ² < 0

Минимум потенциала достигается при ненулевом значении поля. Выбор конкретного вакуума приводит к нарушению симметрии.

Результаты:

• Возникают безмассовые бозоны Голдстоуна (в нелокализованных теориях).
• При калибровочной симметрии — бозоны Голдстоуна “поглощаются” калибровочными полями, придавая им массу (механизм Хиггса).

Симметрии и законы сохранения

Согласно теореме Нётер, каждой непрерывной симметрии соответствует закон сохранения. Примеры:

• Временная трансляция — сохранение энергии.
• Пространственная трансляция — сохранение импульса.
• Вращения — сохранение момента импульса.
• U(1) симметрия — сохранение заряда.

Для внутренних симметрий, таких как SU(2)_L или SU(3)_C, соответствующие токи также сохраняются, если симметрия не нарушена эксплицитно или спонтанно.

Цветовая симметрия в квантовой хромодинамике

Группа SU(3)_C описывает симметрию сильного взаимодействия. Кварки несут цветовой заряд и находятся в фундаментальном представлении 3, антикварки — в сопряжённом $\bar{\mathbf{3}}$, глюоны — в аджоинтном 8.

Основные особенности:

• Глюоны взаимодействуют друг с другом, поскольку сами несут цвет.
• Асимптотическая свобода: на высоких энергиях взаимодействие слабеет.
• Конфайнмент: на низких энергиях цветовой заряд не наблюдается в свободном состоянии, только в синглетных комбинациях (например, мезоны q̄q, барионы qqq).

Великое объединение и расширенные симметрии

Теории Великого Объединения (GUT) предполагают существование единой симметрии, объединяющей SU(3)_C × SU(2)_L × U(1)_Y в одну группу на высоких энергиях.

Примеры групп GUT:

• SU(5): минимальная модель объединения.
• SO(10): объединяет один фермионный поколенческий мультиплет в 16-компонентное представление.

Симметрия GUT нарушается при определённой энергии, приводя к разделению на наблюдаемые взаимодействия. Прогнозируются:

• Протонный распад (не наблюден).
• Существование X- и Y-бозонов.

Суперсимметрия и расширенные алгебры

Суперсимметрия (SUSY) — расширение симметрий пространства-времени, включающее преобразования между фермионами и бозонами. Алгебра суперсимметрии включает антикоммутирующие генераторы:

{Q_α, Q̄_β̇} = 2σ_αβ̇^μP_μ

Каждой частице соответствует суперпартнёр с отличающейся статистикой.

SUSY требует удвоения спектра частиц. Симметрия нарушается при низких энергиях, поэтому суперпартнёры не наблюдаются при нынешнем уровне экспериментов.

Пространственно-временные симметрии и группа Пуанкаре

Группа Пуанкаре объединяет трансляции и преобразования Лоренца. Она лежит в основе специальной теории относительности и классификации частиц по массам и спинам.

Классификация по Казимировым инвариантам:

• Квадрат импульса P^μP_μ = m²
• Квадрат спина: W^μW_μ, где W^μ — вектор Паули–Любанского

Эта классификация определяет спектр возможных элементарных частиц в лоренц-инвариантной теории.

Аномалии и их устранение

Аномалия — это ситуация, при которой классическая симметрия нарушается при квантовании. Это может привести к потере консистентности теории (например, неинвариантность дивергенции тока).

В Стандартной модели аномалии тщательно компенсируются между различными фермионными поколениями. Например, триплеты кварков и лептонов организованы так, чтобы суммарная аномалия исчезала:

∑_fTr(T^a{T^b, T^c}) = 0

В теории GUT и SUSY также важно следить за отсутствием аномалий, особенно в суперпотенциалах и взаимодействиях.

Заключительные замечания по структуре симметрий

Современная теория фундаментальных взаимодействий построена на глубокой связи между симметриями и наблюдаемыми свойствами частиц. Симметрии определяют допустимые взаимодействия, законы сохранения, структуру вакуума, а также служат критерием при поиске новых физических теорий за пределами Стандартной модели.