Теория случайных матриц (ТСМ) изучает свойства матриц с элементами, являющимися случайными величинами. В контексте физики высоких энергий ТСМ играет фундаментальную роль в описании квантовых хаотических систем, спектральных свойств гамильтонианов, калибровочной динамики и даже в нерешённых аспектах теории струн. Первоначально возникшая в ядерной физике для описания уровней энергии тяжелых ядер (работы Вигнера), теория случайных матриц ныне является важным инструментом во множестве областей теоретической физики.
Рассматриваются различные ансамбли матриц в зависимости от симметрии системы. Основными являются:
Каждому из этих ансамблей соответствует определённая симметрия: ортогональная (временнáя инвариантность и обращение времени), унитарная (нарушение симметрии обращения времени), симплектическая (наличие спиновой структуры и обращение времени). Важно, что все они подчиняются универсальным статистическим законам при больших размерностях матриц.
Для большого размера матрицы N → ∞ распределение собственных значений случайных матриц становится детерминированным и подчиняется универсальному закону. В гауссовском ансамбле плотность состояний ρ(λ) стремится к так называемому полукруговому закону Вигнера:
$$ \rho(\lambda) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} \sqrt{4\sigma^2 N - \lambda^2}, \quad |\lambda| \le 2\sigma \sqrt{N} $$
где σ2 — дисперсия распределения матричных элементов. Это распределение демонстрирует, что собственные значения “скучены” около центра спектра и резко обрываются на концах, создавая полукруглую форму.
Одним из наиболее значимых результатов ТСМ является описание распределения расстояний между соседними уровнями энергии — так называемой статистики уровней. В отличие от пуассоновской статистики, свойственной интегрируемым системам, случайные матричные ансамбли обладают отталкиванием уровней:
Для GOE:
$$ P(s) = \frac{\pi}{2}s \exp\left(-\frac{\pi s^2}{4}\right) $$
Для GUE:
$$ P(s) = \frac{32}{\pi^2}s^2 \exp\left(-\frac{4s^2}{\pi}\right) $$
где s — расстояние между нормированными уровнями. Это поведение отражает фундаментальное отличие между хаотической и регулярной квантовой динамикой.
Удивительной особенностью ТСМ является универсальность — поведение статистик не зависит от деталей распределения матричных элементов, а определяется лишь типом симметрии. Эта универсальность позволяет применять ТСМ в самых различных физических задачах, от спектральных свойств ядер до анализа флуктуаций в QCD.
При N → ∞ многие свойства ансамблей становятся универсальными, например:
В частности, для крайних уровней спектра в GUE:
$$ \Pr(\lambda_{\text{max}} < s) \sim \exp\left( -\frac{1}{12} s^3 \right) $$
что имеет непосредственное значение для анализа флуктуаций в теории струн и черных дырах.
ТСМ играет важную роль в нефермионных секторах QCD, особенно в области малых собственных значений оператора Дирака, что связано с хиральной симметрией и её спонтанным нарушением. В этих задачах используются хиральные ансамбли случайных матриц (chRMT), в которых матрицы имеют блочную структуру, отражающую хиральную симметрию:
$$ D = \begin{pmatrix} 0 & W \\ W^\dagger & 0 \end{pmatrix} $$
где W — случайная матрица. Спектральная плотность около нуля отражает свойства вакуума QCD и связана с конденсатом кварков через формулу Банка-Каши:
Σ = πρ(0)/V
где Σ — хиральный конденсат, V — объём системы.
ТСМ появляется в различных формулировках теории струн, особенно в контексте двумерной квантовой гравитации, топологических моделей и матричных моделей типа Итакуры–Зубер. Последние описываются интегралами по пространству матриц:
Z = ∫dM exp (−NTr V(M))
где V(M) — потенциал, определяющий конкретную модель. При N → ∞ такие интегралы описывают различные топологии двумерных поверхностей и служат игрушечными моделями непертурбативной гравитации.
Также в последних работах в рамках программы SYK (Sachdev–Ye–Kitaev), использующей хаотические гамильтонианы с рандомизированными взаимодействиями, ТСМ является центральным инструментом. В SYK-модели спектр операторов подчиняется универсальности GUE, а поведение корреляционных функций отражает динамику черной дыры в голографической дуальности AdS/CFT.
ТСМ обеспечивает эффективное описание квантового хаоса, то есть статистических характеристик спектров гамильтонианов, отвечающих классически хаотическим системам. Один из краеугольных камней — гипотеза Бери-Табора, утверждающая, что для интегрируемых систем уровни подчиняются пуассоновской статистике, а для хаотических — случайно-матричной (GUE/GOE/GSE).
Кроме того, корреляции между уровнями и функции Римана-Зета показывают глубокие аналогии: статистика нулей дзета-функции вдоль критической прямой подчиняется той же статистике, что и GUE. Это позволяет строить мост между теорией чисел, хаосом и физикой высоких энергий.
В теории случайных матриц важное значение имеют интегрируемые структуры. Например, распределения уровней могут быть выражены через детерминанты ядра Фредгольма, а также связаны с решением нелинейных уравнений — например, уравнений Пэйнлеве. Это особенно явно проявляется в распределении крайних уровней (закон Трейси–Уидома), удовлетворяющем уравнению Пэйнлеве II:
q″(s) = sq(s) + 2q3(s)
где q(s) — вспомогательная функция, выражающая крайние флуктуации собственных значений. Это делает ТСМ важной частью современной теории интегрируемых систем.
ТСМ опирается на развитые вычислительные методы, включая:
Благодаря этим техникам становится возможным не только аналитическое, но и численное описание флуктуаций спектров гамильтонианов, их симметрий и динамики.
Современные направления использования ТСМ включают:
ТСМ остаётся одним из универсальных и мощнейших инструментов современной теоретической физики. Ее структура объединяет идеи вероятности, симметрии, интегрируемости и хаоса в единое математическое описание, способное охватить как микроскопическую динамику фундаментальных частиц, так и макроскопические аспекты космологии.