Классификация и свойства топологических солитонов
Топологические солитоны представляют собой устойчивые, локализованные конфигурации полей, обусловленные топологическими свойствами конфигурационного пространства. В отличие от обычных возбуждений поля, такие решения нельзя непрерывно деформировать в тривиальное состояние (вакуум), не нарушив граничные условия или не пройдя через состояния с бесконечной энергией.
Солитоны появляются в теориях с вырожденным вакуумом, когда существует множество топологически различных классов конфигураций, и переход между ними невозможен посредством гладких преобразований. Их стабильность обеспечивается топологическим зарядом, инвариантным по отношению к возмущениям поля.
Важнейшие примеры включают доменные стены, вихри (вортексы), монополи и инстантоны. Каждому из них соответствует определённая гомотопическая группа:
где ℳ — пространство вакуумных конфигураций.
Доменные стены
Доменные стены представляют собой двумерные объекты (объекты коразмерности 1), разделяющие области с различными значениями вакуумного состояния. Они возникают, например, в теориях со спонтанным нарушением симметрии, где множество вакуумов дискретно.
Простейший пример реализуется в скалярной теории с потенциалом двойной ямы:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)^2 - \frac{\lambda}{4}(\phi^2 - v^2)^2. $$
Полевая конфигурация, интерполирующая между −v и +v вдоль одного пространственного направления, представляет собой доменную стену. Энергия сосредоточена вблизи переходной области, а её ширина масштабируется как $1/(v \sqrt{\lambda})$.
Вихри (вортексы)
Вихревые конфигурации встречаются в теориях с непрерывным вырожденным вакуумом, обладающим нетривиальной первой гомотопической группой. Они имеют коразмерность 2, то есть в 3+1 измерениях представляют собой одномерные объекты (струны). Классический пример — вихри Абелевой модели Хиггса (модель Абрикосова-Нильсена-Олесена):
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + |D_\mu \phi|^2 - \frac{\lambda}{4}(|\phi|^2 - v^2)^2, $$
где ϕ — комплексное скалярное поле, Dμ = ∂μ − ieAμ — ковариантная производная. При r → ∞, |ϕ| → v, а его фаза обходит 2πn вдоль окружности. Это создаёт квантованное магнитное поле, заключённое внутри вихря.
Такие вихри важны не только в теории сверхпроводимости второго рода, но и в космологии как кандидаты на космические струны.
Монополи
Топологические монополи — это решения с коразмерностью 3, то есть точечные объекты в 3+1 измерениях. Они возникают в неабелевых калибровочных теориях при спонтанном нарушении симметрии с π2(G/H) ≠ 0. Пример — монополь ’т Хоофта–Полякова.
В модели Георги–Глэшоу:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu} + \frac{1}{2}(D_\mu \phi^a)^2 - \frac{\lambda}{4}(\phi^a\phi^a - v^2)^2, $$
где ϕa — скалярное поле в представлении adj(SU(2)), возникает монопольная конфигурация с топологическим зарядом, соответствующим элементу π2(S2) ≅ ℤ. Его магнитное поле на больших расстояниях имеет форму поля Дирака, но без сингулярности вдоль струны (в отличие от дираковского монополя).
Монополи играют фундаментальную роль в теориях Великого Объединения и в механизме конфайнмента через дуальную сверхпроводимость.
Инстантоны
Инстантоны — это евклидовы (непрерывные) решения уравнений движения с конечным действием, характеризующие туннелирование между различными вакуумами. Они важны в квантовой теории поля, особенно в КХД и теории Янга–Миллса, где нарушают симметрию аксиальной U(1) через аномалии.
Пример — BPST-инстантон в SU(2) Янга–Миллса теории:
$$ A_\mu^a(x) = \frac{2 \eta_{a\mu\nu} x^\nu}{x^2 + \rho^2}, $$
где ηaμν — символы ’т Хоофта, ρ — размер инстантона. Он соответствует элементу π3(SU(2)) ≅ ℤ, и его действие:
$$ S = \frac{8\pi^2}{g^2}, $$
что даёт экспоненциально подавленный вклад в амплитуды: exp (−8π2/g2). В КХД такие конфигурации объясняют аномалию U(1) и массу η′-мезона, несмотря на отсутствие соответствующего бозона Голдстоуна.
БPS-состояния
Особым классом топологических решений являются BPS-солитоны, удовлетворяющие уравнениям Богомольного–Присадецкого–Соммерфильда (BPS):
Tμν = 0 ⇒ энергия минимальна при фиксированном топологическом заряде.
BPS-конфигурации устойчивы не только топологически, но и динамически. Их масса (или энергия) определяется исключительно зарядом, что позволяет находить точные решения даже в нелинейных теориях. Такие состояния важны в теории суперсимметрии, где они сохраняют часть суперзарядов и, следовательно, защищены от квантовых поправок.
Топологические заряды и гомотопия
Классификация солитонов основывается на гомотопической теории отображений:
Топологический заряд определяется интегралом от плотности, соответствующей элементу гомотопической группы. В случае вихрей — это число обвитий фазы, в случае монополей — поток магнитного поля через сферу на бесконечности, в случае инстантонов — число Понтрягина:
$$ Q = \frac{1}{32\pi^2} \int d^4x\, \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}^a F_{\rho\sigma}^a. $$
Солитоны в различных измерениях
Многообразие топологических объектов существенно зависит от размерности пространства-времени. Например, в (1+1) теориях (как модель син-Гордона или ϕ4) возможны только доменные стены (киинки), в (2+1) — вихри, а в (3+1) — монополи и струны. Инстантоны существуют в евклидовом (4-мерном) пространстве.
В теориях со сверхсимметрией и суперструнных моделях возможны обобщения: D-браны, M5-браны и другие объекты, обладающие как топологическими, так и калибровочными зарядами. Их математическое описание включает алгебру когомологий, характеристические классы и K-теорию.
Космологические и физические приложения
Топологические дефекты могут оставаться после фазовых переходов в ранней Вселенной. Их возможное существование в космосе (например, космические струны или монополи) может влиять на структуру Вселенной, реликтовое излучение и образование галактик. Некоторые из них, как монополи, вызывают проблему переизбытка, решаемую в инфляционных моделях.
Инстантоны объясняют такие тонкие эффекты, как барионное число нарушения, аксиальные аномалии и туннелирование в квантовых системах. В КХД инстантоны и квазиклассические конфигурации участвуют в механизме конденсации фермионных пар и объясняют структуру вакуума.
Топологические солитоны — неотъемлемая часть современной теоретической физики, объединяющая геометрию, топологию и полевые теории.