Соотношение энергии и массы: фундамент релятивистской механики
В релятивистской механике энергия частицы складывается из двух компонент: энергии покоя и кинетической энергии, возникающей при её движении. Эйнштейновское соотношение
E = mc2
описывает энергию покоя E0 частицы массы m, находящейся в системе отсчёта, в которой она покоится. Однако в более общем случае частица может двигаться, и тогда её полная энергия выражается через её импульс и массу следующим соотношением:
E2 = p2c2 + m2c4
где:
Это фундаментальное соотношение релятивистской кинематики играет ключевую роль в высокоэнергетических процессах, в частности, при анализе распадов, столкновений и рассеяний частиц.
Импульс частицы в релятивистской теории определяется как:
p⃗ = γmv⃗
где $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$ — лоренц-фактор, отражающий зависимость от скорости. Полная энергия частицы тогда записывается как:
E = γmc2
Это выражение показывает, что при увеличении скорости частицы до значений, близких к скорости света, её энергия стремится к бесконечности, даже если масса остаётся конечной. Это объясняет, почему невозможно разогнать массивную частицу до скорости света.
Для частиц с нулевой массой покоя, таких как фотоны или глюоны, соотношение упрощается:
E = pc
Отсюда видно, что даже частица с нулевой массой обладает энергией, если у неё есть импульс. Это критически важно в квантовой теории поля, где фотоны участвуют в переносе энергии и импульса, несмотря на отсутствие массы.
Кинетическая энергия в релятивистской теории отличается от классической:
T = E − E0 = (γ − 1)mc2
Для малых скоростей v ≪ c разложение по степеням v/c даёт:
$$ T \approx \dfrac{1}{2}mv^2 + \dfrac{3}{8} \dfrac{mv^4}{c^2} + \cdots $$
что восстанавливает классическую механику как предельный случай релятивистской.
Масса покоя m может интерпретироваться как эквивалент определённой энергии E0 = mc2. Эта идея привела к переосмыслению понятия массы: в релятивистской теории масса больше не увеличивается с ростом скорости (отказ от понятия «релятивистской массы»), а рассматривается как неизменный инвариант, связанный с четырёхмерным импульсом. Тем самым в современной формулировке сохраняется инвариантность массы:
m2c4 = E2 − p2c2
В специальной теории относительности удобно использовать четырёхмерные векторы. Четырёхимпульс определяется как:
$$ P^\mu = \left( \dfrac{E}{c}, \vec{p} \right) $$
Его лоренц-инвариантное скалярное произведение:
$$ P^\mu P_\mu = \left(\dfrac{E}{c}\right)^2 - \vec{p}^{\,2} = m^2c^2 $$
остается неизменным во всех инерциальных системах отсчёта. Это даёт компактное описание связи энергии, импульса и массы.
Во многих физических процессах, особенно в физике высоких энергий, происходит превращение массы в энергию и наоборот. В столкновениях частиц при высоких энергиях возможны реакции вида:
A + B → C + D + ⋯
где суммарная энергия входящих частиц переходит в массы и кинетическую энергию продуктов реакции. При этом сохранение энергии и импульса обязательно. Так, если в результате образуются частицы большей массы, это возможно только при достаточной кинетической энергии входящих частиц.
Пример: аннигиляция электрона и позитрона:
e− + e+ → γ + γ
где полная масса покоя исчезает, а вся энергия переходит в энергию двух фотонов.
Для анализа реакций удобно переходить в систему центра масс (СЦМ). В этой системе суммарный импульс до и после реакции равен нулю:
∑p⃗i = 0
Это существенно упрощает анализ и позволяет определить пороговую энергию, необходимую для генерации определённых продуктов реакции. Например, если в реакции необходимо создание массивной частицы, то в СЦМ минимальная полная энергия должна удовлетворять:
Ecm ≥ ∑mic2
В лабораторной системе, где одна из частиц покоится, минимальная энергия второй частицы для инициации реакции с созданием частиц массы M определяется из закона сохранения энергии и импульса.
В релятивистской теории рассеяния вводятся инварианты Мандельштама:
s = (p1 + p2)2, t = (p1 − p3)2, u = (p1 − p4)2
где pi — четырёхимпульсы частиц. Эти скалярные величины не зависят от выбора системы отсчёта и широко применяются при анализе сечений рассеяния и вычислении амплитуд взаимодействий.
Инвариант s напрямую связан с полной энергией в СЦМ:
$$ \sqrt{s} = E_\text{cm} $$
и, следовательно, определяет доступность тех или иных каналов реакции. Например, если $\sqrt{s}$ превышает сумму масс рождающихся частиц, соответствующая реакция становится разрешённой.
Современные ускорители элементарных частиц, такие как LHC, разгоняют частицы до энергий в терах электронвольт. При таких энергиях масса покоя становится пренебрежимо малой по сравнению с кинетической энергией:
E ≫ mc2
В этих условиях большинство процессов рассматривается в приближении для безмассовых частиц, особенно при описании глюонов, кварков и лептонов при больших импульсах.
Кроме того, в экспериментах сталкиваются пучки частиц, движущихся навстречу друг другу. В этом случае достигается максимум энергии в СЦМ при минимальной энергии в лабораторной системе, что делает такие схемы крайне эффективными для изучения тяжелых резонансов и новых частиц.
В квантовой хромодинамике и электрослабом взаимодействии масса элементарных частиц трактуется как следствие взаимодействия с квантовыми полями. Например, масса фермионов и векторных бозонов возникает в результате механизма Хиггса, где поля получают массу за счёт спонтанного нарушения симметрии. Таким образом, масса — это не фундаментальное свойство, а результат поля, связанного с энергией вакуума.
В этом контексте знаменитая формула Эйнштейна E = mc2 получает расширенное толкование: масса — это форма энергии, порождаемая полевыми конфигурациями.
Рассмотрим распад частицы массы M на две частицы масс m1 и m2 в системе покоя исходной частицы. Энергия и импульсы продуктов выражаются как:
$$ E_{1,2} = \dfrac{M^2 + m_{1,2}^2 - m_{2,1}^2}{2M}, \quad p = \dfrac{\sqrt{[M^2 - (m_1 + m_2)^2][M^2 - (m_1 - m_2)^2]}}{2M} $$
что следует из сохранения энергии и импульса и уравнения на релятивистскую массу. Эти выражения критичны для вычисления ширины распадов, времён жизни частиц и анализа кинематики вторичных частиц.
Такое изложение отражает, как фундаментальная связь между массой и энергией лежит в основе всех релятивистских явлений и взаимодействий в физике высоких энергий.