Автомодельные (самоподобные) решения — это особый класс решений дифференциальных уравнений, которые описывают динамику жидкости и газа с помощью безразмерных переменных, объединяющих пространственные и временные координаты.
Такое решение имеет вид:
$$ f(x, t) = t^\alpha \cdot F\left(\frac{x}{t^\beta}\right) $$
где α, β — постоянные показатели масштабирования, F — функция безразмерного аргумента.
Задача Седова — Тейлора — распространение ударной волны в газе после взрыва.
Автомодельное расплывание жидкости — описание распространения пятна жидкости по поверхности.
Автомодельные решения при фазовых переходах — например, фронт кипения или конденсации, где профиль температуры и плотности меняется по определенному масштабу.
Выбор шкал времени и длины: анализируем задачу на наличие характерных масштабов.
Переход к безразмерным переменным: объединяем пространственные и временные параметры.
Подстановка в уравнения: исходные уравнения преобразуются в ОДУ для функции безразмерного аргумента.
Решение граничных задач: нахождение функций F(ξ), удовлетворяющих физическим и граничным условиям.
При описании кипения и конденсации автомодельные решения помогают моделировать фронты фазовых переходов, например, распространение зоны кипения в жидкости при нагреве.
В таких задачах профиль температуры и концентрации пара можно выразить через безразмерные функции, позволяющие прогнозировать скорость фронта и распределение тепловых полей.
Автомодельные решения применимы в задачах с характерным масштабированием и отсутствием внешних сложных воздействий, где система демонстрирует самоподобное поведение. При сложных геометриях, неоднородностях и турбулентности эти решения могут служить только приближением.