Дисперсионное соотношение

Дисперсионное соотношение — это математическая зависимость между частотой колебаний ω и волновым числом k (или длиной волны λ) для волновых процессов в среде.

В общем виде:

ω = ω(k)

Оно определяет, как волны распространяются в среде, и характеризует связь между фазовой и групповой скоростью.

Фазовая и групповая скорость

  • Фазовая скорость — скорость перемещения фазовой поверхности волны:

$$ v_{\text{ф}} = \frac{\omega}{k} $$

  • Групповая скорость — скорость перемещения энергии или информации, связанная с изменением частоты по волновому числу:

$$ v_{\text{гр}} = \frac{d\omega}{dk} $$

В диспергирующей среде vф ≠ vгр.

Дисперсионные соотношения в жидкостях и газах

Звуковые волны

Для звуковых волн в идеальной жидкости или газе без вязкости и теплопроводности справедливо линейное дисперсионное соотношение:

ω = csk

где cs — скорость звука в среде, постоянная для данного состояния.

Это означает, что все частоты распространяются с одинаковой скоростью — отсутствие дисперсии.

Поверхностные волны на границе жидкость–газ

Поверхностные волны (волны Капилляра-Гравитационные) имеют более сложное дисперсионное соотношение, учитывающее силы тяжести и поверхностное натяжение:

$$ \omega^2 = gk + \frac{\sigma}{\rho} k^3 $$

где:

  • g — ускорение свободного падения,
  • σ — коэффициент поверхностного натяжения,
  • ρ — плотность жидкости.

При больших длинах волн доминирует гравитационный член gk, при малых — поверхностное натяжение $\frac{\sigma}{\rho} k^3$.

Внутренние волны и волны в стратифицированных жидкостях

В жидкостях с изменяющейся плотностью (стратификация) возможны внутренние волны, для которых дисперсионное соотношение зависит от профиля плотности и частоты Брюнта-Вейсса N:

$$ \omega^2 = N^2 \frac{k_h^2}{k_h^2 + k_z^2} $$

где kh, kz — горизонтальное и вертикальное волновые числа.

Последствия дисперсии

Дисперсия приводит к искажению формы волнового пакета с течением времени — разные частоты распространяются с разной скоростью, вызывая растяжение или сжатие пакета.

Применение дисперсионного анализа

Дисперсионные соотношения важны для:

  • Анализа устойчивости гидродинамических потоков.
  • Определения свойств среды по измерениям волн (акустика, гидродинамика).
  • Проектирования устройств и систем с волновыми процессами (акустические приборы, гидроакустика).

Классические модели и уравнения

Для изучения дисперсионных свойств используют:

  • Уравнение линейной волны (гиперболическое уравнение).
  • Уравнение Навье-Стокса в линейном приближении.
  • Модель Барроу-Лонга (для звуковых волн с вязкостью).

В итоге, изучение кипения и конденсации тесно связано с фазовыми переходами и термодинамикой, тогда как дисперсионное соотношение является фундаментальным понятием для описания волновых процессов в жидкостях и газах, раскрывая природу распространения и взаимодействия волн в средах различной физической природы.

Оглавление