Интегралы движения жидкости

В гидродинамике для описания движения жидкости используются уравнения сохранения массы, импульса и энергии. Из них выводятся интегралы движения — выражения, которые сохраняются вдоль траекторий движения жидкости при определённых условиях.

Интеграл Бернулли

Для несжимаемой идеальной жидкости (без вязкости и теплообмена) движущейся по потоку без вихрей, уравнение движения можно интегрировать и получить интеграл Бернулли:

$$ \frac{v^2}{2} + \frac{p}{\rho} + gz = \text{const} $$

где

v — скорость жидкости,
p — давление,
ρ — плотность,
g — ускорение свободного падения,
z — высота относительно выбранного уровня.

Физический смысл: сумма кинетической энергии, потенциальной энергии и энергии давления на единицу массы жидкости остаётся постоянной вдоль линии тока.

Применение интеграла Бернулли

Расчёт скоростей жидкости в трубах, соплах, оросителях.
Определение давления в движущейся жидкости.
Анализ потоков с изменением высоты и скорости.

Ограничения и условия применения

Несжимаемая жидкость.
Отсутствие вязких сил и трения.
Устойчивое стационарное течение.
Отсутствие добавления или удаления энергии в потоке (например, без насосов или теплообмена).

Интеграл Жуковского

В динамике жидкостей с потенциальным течением (поток без вихрей) важен интеграл Жуковского, связывающий скорость и давление с функцией потенциала потока:

$$ \Phi + \frac{p}{\rho} + \frac{v^2}{2} = \text{const} $$

где Φ — потенциальная энергия на единицу массы.

Уравнение Торричелли

В частном случае свободного падения жидкости из отверстия или излива интеграл Бернулли даёт формулу скорости струи:

$$ v = \sqrt{2gh} $$

где h — высота уровня жидкости над отверстием.

Обобщённые интегралы движения

Для сжимаемой жидкости и газа интегралы движения усложняются, учитывая изменение плотности и температуры.
При наличии вязкости и турбулентности интегралы движения могут быть применимы только с поправками.
В общем случае движение жидкости описывается системой уравнений Навье–Стокса, из которых можно выводить локальные интегральные характеристики.

Значение интегралов движения в практической физике

Позволяют анализировать и предсказывать поведение жидкостей и газов в инженерных системах.
Используются для проектирования трубопроводов, гидравлических машин, авиационных и аэродинамических конструкций.
Помогают понимать физику естественных процессов: атмосферные течения, кровоток, движение океанских течений.

Ключевые моменты

Кипение и конденсация — фазовые переходы, зависящие от температуры и давления.
Кипение — процесс образования пара внутри жидкости при достижении давления насыщенного пара внешнего давления.
Конденсация — обратный процесс с выделением тепла.
Интегралы движения — выражения сохранения энергии и импульса в потоке жидкости при определённых условиях.
Интеграл Бернулли — основное уравнение идеального стационарного потока.
Уравнение Торричелли даёт простое выражение скорости вытекания жидкости.
В реальных условиях необходимо учитывать вязкость, сжимаемость и турбулентность.