Характеристики сверхзвуковых течений

Основные понятия и условия

Сверхзвуковое течение — это течение газа, при котором скорость газа превышает скорость звука в данной среде, то есть

$$ M = \frac{v}{a} > 1, $$

где M — число Маха, v — скорость потока, a — скорость звука в газе.

Скорость звука зависит от температуры и состава газа:

$$ a = \sqrt{\gamma R T}, $$

где γ — показатель адиабаты, R — газовая постоянная, T — абсолютная температура.

Особенности сверхзвуковых течений

  • Поток становится сжимаемым, и изменения давления и плотности уже влияют на скорость.
  • Появляется возможность возникновения ударных волн — резких скачков параметров потока.
  • Различают изоэнтропические и неизоэнтропические процессы.

Уравнения и характеристики сверхзвукового течения

Для анализа течений используется система уравнений:

  • Уравнение неразрывности (сохранения массы):

ρAv = const,

где ρ — плотность, A — площадь сечения, v — скорость.

  • Уравнение движения (Эйлера):

$$ v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{\rho} \frac{d p}{d x} = 0, $$

  • Уравнение состояния идеального газа:

p = ρRT,

  • Закон сохранения энергии.

Зависимость площади канала от числа Маха (закон дюзы)

Рассматривая поток газа в канале с переменным сечением, устанавливается связь между площадью сечения и числом Маха:

$$ \frac{d A}{A} = (M^2 - 1) \frac{d v}{v}. $$

Из этого выражения следует:

  • Для M < 1 (субзвуковое течение) уменьшение площади увеличивает скорость.
  • Для M > 1 (сверхзвуковое течение) увеличение площади увеличивает скорость.

Это принцип работы сужающихся-расширяющихся каналов — дефлекторов и сопел.

Ударные волны

Ударная волна — это тонкий слой, где параметры газа меняются скачкообразно:

  • Резкое увеличение давления и температуры.
  • Резкое уменьшение скорости.
  • Повышение энтропии (процесс необратим).

Ударные волны делятся на:

  • Нормальные — перпендикулярны потоку.
  • Косые — под углом к потоку.

Термодинамические соотношения через ударную волну

Через нормальную ударную волну параметры связаны следующим образом (для идеального газа):

$$ \frac{p_2}{p_1} = 1 + \frac{2 \gamma}{\gamma + 1} (M_1^2 - 1), $$

$$ \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{(\gamma + 1) M_1^2}{(\gamma - 1) M_1^2 + 2}, $$

$$ M_2^2 = \frac{1 + \frac{\gamma - 1}{2} M_1^2}{\gamma M_1^2 - \frac{\gamma - 1}{2}}, $$

где индексы 1 и 2 относятся к параметрам до и после ударной волны.

Сопло Лаваля

Это устройство с формой, которая обеспечивает ускорение газа до сверхзвуковых скоростей. Основные принципы:

  • Сужение канала до минимального сечения (горло) для достижения M = 1.
  • Расширение канала после горла для дальнейшего ускорения до M > 1.

Сопло широко применяется в ракетной и авиационной технике.

Дополнительные важные аспекты

  • Роль теплообмена: В сверхзвуковых течениях теплообмен часто пренебрежим, что упрощает анализ.
  • Влияние вязкости: В основном при анализе сверхзвуковых течений рассматриваются идеальные газы, но в реальных условиях вязкость и теплопроводность могут влиять на формирование ударных волн и режим течения.
  • Неустойчивость сверхзвуковых потоков: При взаимодействии с поверхностями возникают волны и завихрения, что требует учета в аэродинамике.
Оглавление