Комплексный потенциал скорости

Определение и физический смысл

Комплексный потенциал скорости — это математический инструмент, широко используемый в гидродинамике идеальной (несжимаемой и безвязкой) жидкости для описания двумерных потенциальных течений.

Обозначим комплексную переменную:

z = x + iy,

где x, y — координаты в плоскости течения, а i — мнимая единица.

Комплексный потенциал w(z) определяется как:

w(z) = ϕ(x, y) + iψ(x, y),

где

  • ϕ(x, y) — потенциальная функция (потенциал скорости),
  • ψ(x, y) — функция тока (потоковая функция).

Свойства комплексного потенциала

  • ϕ и ψ удовлетворяют уравнению Лапласа, так как течение потенциальное (безроторное, несжимаемое).
  • Из условий аналитичности функции w(z) следует, что ϕ и ψ связаны уравнениями Коши-Римана:

$$ \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad \frac{\partial \phi}{\partial y} = - \frac{\partial \psi}{\partial x}. $$

  • Линии уровня ϕ = const — линии равного потенциала (эквипотенциальные линии).
  • Линии уровня ψ = const — линии тока.

Вычисление компонентов скорости

Компоненты скорости u, v в плоскости (x, y) связаны с потенциалом и функцией тока:

$$ u = \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad v = \frac{\partial \phi}{\partial y} = - \frac{\partial \psi}{\partial x}. $$

В терминах комплексного потенциала скорость задаётся производной:

$$ \frac{dw}{dz} = u - i v. $$

Отсюда

$$ u = \Re\left( \frac{dw}{dz} \right), \quad v = -\Im\left( \frac{dw}{dz} \right). $$

Типовые формы комплексного потенциала

  1. Поток однородного течения с скоростью U:

w(z) = Uz,

где

u = U, v = 0.

  1. Источник или сток с интенсивностью Q в начале координат:

$$ w(z) = \frac{Q}{2\pi} \ln z, $$

где линии тока — круги, исходящие из точки.

  1. Вихрь с циркуляцией Γ:

$$ w(z) = - \frac{i \Gamma}{2\pi} \ln z. $$

  1. Поток вокруг цилиндра с радиусом R при скорости U:

$$ w(z) = U \left(z + \frac{R^2}{z}\right). $$

Этот комплексный потенциал описывает обтекание твердого тела.

Применение комплексного потенциала

  • Упрощение решения задач обтекания тел в 2D.
  • Анализ устойчивости течений.
  • Расчёт сил и моментов, действующих на тела в потоке.
  • Построение линий тока и равного потенциала.

Ограничения и обобщения

Комплексный потенциал применим только к идеальной несжимаемой жидкости без вязкости и с потенциальным течением (без завихрений). Для более сложных течений (включая турбулентные, вязкие, трехмерные) применяют другие методы.

Ключевые моменты:

  • Кипение — процесс фазового перехода жидкости в пар с образованием паровых пузырьков в объёме жидкости.
  • Температура кипения зависит от давления; перегрев повышает скорость кипения.
  • Конденсация — обратный фазовый переход с выделением тепла.
  • Комплексный потенциал скорости — аналитическая функция, объединяющая потенциал скорости и функцию тока, позволяет описывать двумерные потенциальные течения жидкости.
  • Компоненты скорости выражаются через производную комплексного потенциала.
  • Математические модели с комплексным потенциалом решают классические задачи гидродинамики.
Оглавление