В гидродинамике существуют две классические формы описания движения жидкости и газа — Лагранжев подход и Эйлеров подход. Они различаются по выбору системы координат и способу отслеживания движения вещества.
В Лагранжевом подходе исследователь «следит» за конкретной частицей жидкости или газа, прослеживая её траекторию и изменение физических величин во времени.
Основные уравнения:
$$ \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{v}(\mathbf{r}, t) $$
$$ \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{\mathbf{F}}{m} $$
где v — скорость частицы, F — силы, действующие на частицу.
Этот подход удобен для анализа движения отдельных частиц и отслеживания их состояния, но становится сложен при рассмотрении больших потоков.
В Эйлеровом подходе рассматривается движение жидкости или газа в фиксированной пространственной области, где анализируются поля скорости, давления, плотности и других характеристик как функции координат и времени:
v = v(r, t), p = p(r, t), ρ = ρ(r, t)
Здесь не отслеживаются отдельные частицы, а рассматривается общая картина движения.
Для идеальной (невязкой, несжимаемой или сжимаемой) жидкости движение описывается уравнением Эйлера:
$$ \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g} $$
где g — ускорение внешних сил (например, силы тяжести).
Также важны уравнения сохранения массы (непрерывности):
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 $$
и уравнения состояния для замкнутой системы.
Переход от Лагранжевого описания к Эйлерову осуществляется через введение полей скорости и плотности, описывающих движение жидкости в пространстве и времени.
Основные преобразования: