Линейная теория волн

Основные понятия и формулировки

Волна — это распространение возмущения в среде, при котором частицы среды совершают колебательные движения вокруг положения равновесия, а само возмущение перемещается.

Линейная теория волн предполагает, что амплитуда колебаний мала, что позволяет использовать линейные приближения и сводить уравнения движения к линейным дифференциальным уравнениям.

Волновое уравнение

Основное уравнение, описывающее распространение волн в однородной среде:

$$ \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \psi $$

где ψ(x, t) — величина, описывающая возмущение (например, смещение, давление, плотность), c — скорость распространения волны, ∇² — оператор Лапласа.

Это уравнение следует из законов механики и динамики среды.

Виды волн

Продольные волны — колебания частиц среды направлены вдоль направления распространения волны (например, звуковые волны в газах и жидкостях).
Поперечные волны — колебания частиц перпендикулярны направлению распространения (например, волны на поверхности воды, упругие волны в твердых телах).

Общие свойства линейных волн

Принцип суперпозиции — в линейных системах сумма решений волнового уравнения также является решением, что позволяет накладывать несколько волн.
Постоянная скорость распространения — при линейном приближении скорость волны не зависит от амплитуды.
Однородность и изотропность среды — в однородной среде свойства волн не зависят от координат, а в изотропной — не зависят от направления.

Плоские гармонические волны

Рассмотрим решение волнового уравнения в виде гармонической волны:

ψ(x, t) = Acos (kx − ωt + ϕ)

где A — амплитуда, $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ — волновое число, λ — длина волны, ω = 2πf — угловая частота, f — частота, ϕ — начальная фаза.

Связь между ω и k задаёт дисперсионное уравнение. В нелинейных средах эта связь усложняется, но в линейной теории она часто принимает вид:

ω = ck

Энергия и интенсивность волн

Энергия волны пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Интенсивность — это поток энергии через единицу площади в единицу времени.

Для механических волн энергия передается без переноса массы среды, только энергии.

Отражение, преломление и интерференция

При встрече с границей раздела двух сред волна может частично отражаться и частично передаваться (преломляться). Эти явления описываются законами отражения и преломления, которые для линейных волн имеют аналогии с законами оптики.

Интерференция возникает при наложении двух и более волн, приводя к усилению или ослаблению результирующего колебания в зависимости от фазового сдвига.

Затухание и дисперсия

Затухание — уменьшение амплитуды волны при распространении, вызванное поглощением энергии средой.
Дисперсия — зависимость скорости волны от частоты, приводящая к изменению формы волнового пакета с течением времени.

В идеализированной линейной среде без диссипативных процессов волны распространяются без затухания и искажений.

Применение линейной теории волн

Линейная теория волн является фундаментом для понимания и анализа широкого круга явлений в физике — от звука и электромагнитных волн до колебаний в механике жидкости и газа. Она используется в акустике, гидродинамике, оптике и других областях.