Метод конечных объемов

Метод конечных объемов (МКОб) — численный метод решения уравнений в частных производных, широко используемый в гидродинамике, тепло- и массопереносе, в том числе для моделирования течения жидкости и газа.

Основные идеи метода

Рассматриваем область исследования, разбитую на конечное число небольших объемов (ячейки или контрольные объёмы).
Уравнения физики (закон сохранения массы, импульса, энергии) интегрируются по каждому контрольному объему.
Потоки физических величин через границы контрольных объемов аппроксимируются с помощью численных схем.

Преимущества метода

Консервативность: метод строго сохраняет массу, импульс, энергию на уровне дискретизации.
Универсальность: применим к сложным геометриям и неоднородным средам.
Удобство для моделирования турбулентных, многокомпонентных и реакционно-диффузионных процессов.

Формулировка задачи

Для скалярной величины ϕ с уравнением диффузии-конвекции общий интегральный вид в контрольном объеме V записывается как:

$$ \frac{\partial}{\partial t} \int_V \rho \phi \, dV + \oint_{\partial V} \rho \phi \mathbf{u} \cdot d\mathbf{A} = \oint_{\partial V} \Gamma \nabla \phi \cdot d\mathbf{A} + \int_V S_\phi \, dV $$

где

ρ — плотность,
u — скорость,
Γ — коэффициент диффузии,
S_ϕ — источник или сток.

Дискретизация уравнений

Область разбивается на ячейки, каждая с объёмом V_i.
Интегралы по объему и поверхности заменяются суммами и произведениями дискретных значений величин и размеров граней.
Конвективные потоки через грань аппроксимируются численными методами (upwind, центральные разности, QUICK и др.).
Диффузионные потоки аппроксимируются через градиенты между центрами соседних ячеек.

Численные схемы и устойчивость

Выбор схемы аппроксимации определяет точность и устойчивость решения.
Явные схемы требуют малых шагов по времени для устойчивости.
Неявные схемы более устойчивы, но требуют решения систем уравнений.
Современные методы используют адаптивные сетки, многошаговые и многоуровневые методы для повышения эффективности.

Особенности применения к уравнениям Навье–Стокса

Для моделирования жидкости и газа решают систему уравнений сохранения массы, импульса и энергии.
Метод конечных объемов применяется для всех уравнений с учётом несжимаемости или сжимаемости среды.
Реализуются методы коррекции давления (SIMPLE, PISO) для обеспечения выполнения уравнения непрерывности.
Включение турбулентности осуществляется через модели турбулентного вязкого напряжения (k–ε, LES, DNS).

Пример дискретизации уравнения массы

$$ \frac{d}{dt} \int_{V_i} \rho \, dV + \sum_{faces} \rho_f \mathbf{u}_f \cdot \mathbf{A}_f = 0 $$

где суммирование по всем граням ячейки, A_f — вектор площади грани.

Метод конечных объемов является краеугольным камнем современной вычислительной гидродинамики, позволяя точно и эффективно моделировать процессы движения жидкости и газа, включая сложные явления фазовых переходов, такие как кипение и конденсация.