Метод конечных разностей (МКР) — численный метод решения дифференциальных уравнений, широко используемый для моделирования физических процессов в жидкостях и газах, включая тепло- и массоперенос, динамику жидкостей.
Основная идея метода состоит в аппроксимации производных с помощью разностей значений функции в дискретных точках сетки.
Для применения МКР область задачи разбивается на сетку узлов:
В каждом узле рассматривается значение искомой функции (температуры, давления, скорости и др.).
Производные функции заменяются конечными разностями:
$$ f'(x_i) \approx \frac{f_{i+1} - f_i}{\Delta x} $$
$$ f'(x_i) \approx \frac{f_i - f_{i-1}}{\Delta x} $$
$$ f'(x_i) \approx \frac{f_{i+1} - f_{i-1}}{2 \Delta x} $$
Для вторых производных:
$$ f''(x_i) \approx \frac{f_{i+1} - 2 f_i + f_{i-1}}{\Delta x^2} $$
Рассмотрим уравнение теплопроводности (одно из фундаментальных уравнений):
$$ \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} $$
Дискретизируя по времени и пространству, получаем явную схему:
$$ \frac{T_i^{n+1} - T_i^{n}}{\Delta t} = \alpha \frac{T_{i+1}^n - 2 T_i^n + T_{i-1}^n}{\Delta x^2} $$
где индекс n — номер временного слоя, i — номер пространственного узла.
Для численных схем важна их устойчивость — способность выдавать устойчивые и физически адекватные решения.
В явной схеме для теплопроводности условие Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ) определяет максимально допустимый шаг по времени:
$$ \Delta t \leq \frac{\Delta x^2}{2 \alpha} $$
Нарушение этого условия приводит к численной неустойчивости.
Для уравнений Навье-Стокса и уравнений движения газа строятся схемы, учитывающие переносные, диффузионные и силовые члены. Часто используются:
Метод конечных разностей вводит аппроксимационные ошибки, связанные с дискретизацией. Их порядок зависит от используемой схемы (обычно первый или второй порядок).
Помимо аппроксимационной, существует ошибка усечения и ошибки округления.
Метод конечных разностей широко применяется для:
Современное программное обеспечение для численного моделирования (CFD — Computational Fluid Dynamics) использует модифицированные версии МКР в сочетании с другими численными методами.
Этот разбор охватывает основные теоретические и практические аспекты процессов кипения и конденсации, а также метод конечных разностей как базовый инструмент численного анализа в физике жидкостей и газов.