Основные понятия
Нелинейные волны — волны, у которых амплитуда влияет на скорость распространения или форму волны, в отличие от линейных волн. В нелинейных системах часто наблюдаются эффекты, невозможные в линейной теории: искажение формы волны, образование шоковых фронтов, солитонов и другие сложные явления.
Математическое описание
Нелинейные волны описываются уравнениями, в которых присутствуют нелинейные члены по амплитуде или её производным. Одно из классических уравнений — уравнение Бюргерса, уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение НЛШ (нелинейного шредингера) и другие.
Пример уравнения Бюргерса:
$$ \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$
где u(x, t) — функция волнового поля, ν — коэффициент вязкости.
Это уравнение объединяет нелинейное перенесение и диссипацию.
Феномен образования ударных волн
В жидкостях и газах нелинейные эффекты приводят к тому, что различные участки волны распространяются с разной скоростью, чаще всего более высокая амплитуда соответствует большей скорости. В результате происходит “накатывание” фронта и образование ударной волны — резкого скачка параметров среды (давления, плотности, скорости).
Солитоны — устойчивые нелинейные волны
Солитон — особая форма нелинейной волны, которая сохраняет форму и скорость при распространении и взаимодействии с другими солитонами. Солитоны возникают в системах с балансом нелинейности и дисперсии.
Для примера уравнение Кортевега-де Фриза:
$$ \frac{\partial u}{\partial t} + 6u \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3 u}{\partial x^3} = 0 $$
Оно описывает образование устойчивых локализованных волн в нелинейных дисперсионных средах.
Примеры нелинейных волн в жидкостях и газах
Влияние нелинейности на распространение волн
Методы исследования нелинейных волн