Газовая динамика изучает движение газов и взаимосвязь между их параметрами (давлением, плотностью, скоростью и температурой) в условиях изменения скорости, сжатия и расширения.
Выражает закон сохранения массы в потоке газа:
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0, $$
где
В стационарном потоке без временной зависимости:
∇ ⋅ (ρv) = 0.
Для одномерного потока в направлении x:
$$ \frac{\partial}{\partial x} (\rho v) = 0 \implies \rho v = \text{const}. $$
Закон сохранения импульса для безвязкого (идеального) газа:
$$ \rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \rho \mathbf{g}, $$
где
Для стационарного одномерного потока без внешних сил:
$$ \rho v \frac{dv}{dx} = -\frac{dp}{dx}. $$
Связывает давление, плотность и температуру:
p = ρRT,
где
Закон сохранения энергии для газа:
$$ \rho \left(\frac{\partial e}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla e \right) = -p \nabla \cdot \mathbf{v} + Q, $$
где
Для адиабатного (без теплообмена) процесса Q = 0, что упрощает уравнение.
При высоких скоростях газа плотность меняется, и движение становится сжимаемым. Для таких случаев вводят понятия:
$$ M = \frac{v}{a}. $$
$$ a = \sqrt{\gamma R T}, $$
где $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ — показатель адиабаты.
В идеализированной модели адиабатического и обратимого процесса для идеального газа справедливо соотношение:
pρ−γ = const.
Из уравнения движения и уравнения состояния выводятся важные зависимости между параметрами потока.
Обобщённое уравнение Бернулли для потока идеального газа с учётом изменения плотности и температуры:
$$ \frac{v^2}{2} + \int \frac{dp}{\rho} = \text{const}. $$
Для адиабатического процесса интеграл принимает вид:
$$ \int \frac{dp}{\rho} = \frac{\gamma}{\gamma - 1} \frac{p}{\rho}. $$
Для реальных газов вводятся уравнения Навье–Стокса, учитывающие:
Эти уравнения значительно сложнее и используются для моделирования турбулентных, ламинарных и переходных режимов.