Поле скоростей и его характеристики

Понятие поля скоростей

Полем скоростей называется распределение вектора скорости v⃗(r⃗, t) во всех точках объёма жидкости или газа. Оно определяет движение каждого элемента жидкости.

Вектор скорости и его компоненты

В декартовой системе координат вектор скорости представлен компонентами:

v⃗ = (vx, vy, vz)

где каждое значение — функция координат и времени.

Линии тока и траектории частиц

  • Линия тока — линия, касательная в каждой точке которой совпадает с направлением вектора скорости в данный момент времени.
  • Траектория частицы — путь, который проходит частица жидкости за время.

Для стационарного течения линии тока и траектории совпадают.

Поток жидкости через поверхность

Полный объем жидкости, проходящий через поверхность S за время, определяется потоком скорости:

Q = ∬Sv⃗ ⋅ n⃗ dS

где n⃗ — нормаль к поверхности.

Градиент, дивергенция и ротор поля скоростей

  • Градиент скорости — показывает, как меняется скорость в пространстве.
  • Дивергенция ∇ ⋅ v⃗ — мера расходящегося или сходящегося характера поля; для несжимаемой жидкости:

∇ ⋅ v⃗ = 0

  • Ротор ∇ × v⃗ — описывает завихренность потока.

Вихревое движение

Если вектор ротора скорости ω⃗ = ∇ × v⃗ не равен нулю, движение называется вихревым. В противном случае — безвихревым (потенциальным).

Закон сохранения массы и уравнение неразрывности

Для несжимаемой жидкости закон сохранения массы сводится к уравнению неразрывности:

∇ ⋅ v⃗ = 0

для сжимаемых сред уравнение имеет вид:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0 $$

Вязкость и её влияние на поле скоростей

Вязкость — свойство жидкости, вызывающее внутреннее трение, приводит к изменению поля скоростей, затуханию вихрей и появлению градиентов скоростей вблизи твёрдых границ.

Режимы течения: ламинарный и турбулентный

  • Ламинарный — плавное, упорядоченное движение слоев жидкости.
  • Турбулентный — хаотичное движение с вихрями и резкими перепадами скорости.

Режим определяется числом Рейнольдса:

$$ Re = \frac{\rho v L}{\mu} $$

где L — характерный размер, μ — динамическая вязкость.

Заключение по характеристикам поля скоростей

Изучение поля скоростей позволяет описать динамику жидкости и газа, понять особенности течения, предсказать развитие вихрей и особенности тепломассообмена. Эти знания необходимы для анализа и проектирования технических систем, связанных с движением жидкостей и газов.

Оглавление