Потенциальным течением называют движение идеальной (невязкой), несжимаемой жидкости, в котором вектор скорости v может быть представлен как градиент некоторой скалярной функции — потенциала скорости φ:
v = ∇φ
Это означает, что течение является безвихревым, так как ротор скорости равен нулю:
∇ × v = 0
Поскольку жидкость несжимаема, дивергенция скорости равна нулю:
∇ ⋅ v = ∇ ⋅ (∇φ) = Δφ = 0
Таким образом, потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа:
Δφ = 0
Это основное уравнение потенциального течения.
В двумерном потоке жидкости (координаты x, y) помимо потенциала скорости φ(x, y) вводят функцию тока ψ(x, y), которая связана с компонентами скорости следующим образом:
$$ v_x = \frac{\partial \varphi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad v_y = \frac{\partial \varphi}{\partial y} = -\frac{\partial \psi}{\partial x} $$
Функция тока ψ характеризует потоковые линии — линии, касательные к которым совпадают с направлением скорости в каждой точке.
Δψ = 0
В двумерном потенциальном течении удобно использовать комплексный потенциал:
W(z) = φ(x, y) + iψ(x, y), z = x + iy
Где W(z) — аналитическая функция комплексной переменной z. Комплексный потенциал позволяет анализировать и строить решения потенциальных течений с помощью методов комплексного анализа.
Потенциальное течение — приближение, применимое к идеальной жидкости без вязкости. В реальных условиях вязкость приводит к появлению пограничных слоёв и завихрений, которые не описываются потенциальным течением.
Тем не менее, потенциальные течения служат базой для решения многих инженерных и физических задач, позволяя получить аналитические представления о распределении давления и скорости в жидкости.