Для описания движения жидкости или газа важным понятием является скорость деформации — величина, характеризующая изменение формы и размера элементарного объема среды во времени.
В жидкостях и газах движение описывается векторным полем скоростей v(r, t), где r — координаты, t — время.
Градиент скорости — это тензор, определяющий, как скорость изменяется в пространстве:
$$ \mathbf{\nabla} \mathbf{v} = \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} \right) $$
где индексы i, j обозначают компоненты вектора скорости и координат соответственно.
Тензор скоростей деформации D — симметричная часть градиента скорости:
$$ D_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right) $$
Он описывает линейные деформации (растяжения и сжатия) и сдвиги без вращения.
Антисимметричная часть градиента скорости связана с вращательным движением жидкости:
$$ W_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} - \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right) $$
Тензор W отвечает за локальное вращение элементарного объема жидкости.
Объёмная деформация определяется следом тензора деформации:
$$ \theta = \text{div} \, \mathbf{v} = \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \frac{\partial v_3}{\partial x_3} $$
Если θ > 0, среда расширяется, если θ < 0, сжимается.
В динамике жидкости тензор скоростей деформации используется для описания вязких напряжений в уравнениях Навье–Стокса:
σij = −pδij + 2μDij
где σij — тензор напряжений, p — давление, μ — коэффициент динамической вязкости.
Таким образом, кинематические характеристики потока через тензор скоростей деформации позволяют учитывать влияние вязкости и внутреннего трения на движение жидкости или газа.