Статистическое описание турбулентности

Введение в турбулентность

Турбулентность — сложный, хаотический режим движения жидкости или газа, характеризующийся многообразием вихрей и резкими колебаниями скорости, давления и других параметров.

В основе описания турбулентности лежит статистический подход, поскольку детальное предсказание конкретных траекторий и полей практически невозможно из-за высокой нелинейности и чувствительности к начальному состоянию.

Основные статистические характеристики турбулентного потока

  • Среднее значение: усреднённые по времени или по пространству значения параметров потока, например, скорости ū.
  • Флуктуации: отклонения от среднего значения u′ = u − ū.
  • Дисперсия и корреляции: описывают интенсивность и взаимосвязь колебаний.

Уравнения Навье-Стокса в турбулентном режиме разбиваются на среднее поле и поле флуктуаций.

Уравнения Рейнольдса

При применении среднего по времени к уравнениям Навье-Стокса возникает дополнительный член — тензор Рейнольдсовых напряжений:

$$ \rho \left( \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial t} + \bar{u}_j \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} \right) = -\frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \mu \frac{\partial^2 \bar{u}_i}{\partial x_j^2} - \rho \frac{\partial}{\partial x_j} \overline{u_i' u_j'} $$

где $\overline{u_i' u_j'}$ — компоненты тензора Рейнольдсовых напряжений, описывающие влияние турбулентных флуктуаций на средний поток.

Модель турбулентного вязкого напряжения

Для закрытия уравнений Рейнольдса используются различные модели:

  • Гипотеза турбулентной вязкости (Буссинеск модель), согласно которой

$$ - \rho \overline{u_i' u_j'} = \mu_t \left( \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u}_j}{\partial x_i} \right) - \frac{2}{3} \rho k \delta_{ij} $$

где μt — турбулентная вязкость, $k = \frac{1}{2} \overline{u_i' u_i'}$ — кинетическая энергия турбулентных флуктуаций.

Энергетический спектр турбулентности

Турбулентность характеризуется переносом энергии от больших масштабов движения к малым — процессом каскадного переноса.

Спектр энергии E(k) — распределение кинетической энергии по волновым числам k.

В диапазоне инерции, где энергия не теряется вязкостью, спектр описывается законом Колмогорова:

E(k) = Cε2/3k−5/3

где ε — скорость диссипации энергии на малых масштабах, C — константа Колмогорова.

Каскад энергии и масштабные ряды

  • Большие масштабы: источники энергии, формирующие крупные вихри.
  • Средние масштабы: переходная зона инерционного переноса энергии.
  • Малые масштабы: область, где кинетическая энергия диссипируется вязкостью в тепло.

Размеры характерных вихрей и скорости зависят от параметров потока и числа Рейнольдса.

Число Рейнольдса и переход к турбулентности

Число Рейнольдса

$$ Re = \frac{UL}{\nu} $$

где U — характерная скорость потока, L — характерный размер, ν — кинематическая вязкость,

определяет режим течения:

  • Re ≲ 2000 — ламинарный режим.
  • Re ≫ 4000 — турбулентный режим.
  • Промежуток — переходный режим.

Статистические методы анализа

Для описания турбулентности применяются:

  • Функции корреляции: пространственные и временные зависимости взаимосвязи флуктуаций.
  • Структурные функции: статистики различий параметров на различных расстояниях.
  • Методы спектрального анализа: преобразования Фурье для выделения масштабов и частотных составляющих.

Практическое значение турбулентности

Турбулентные потоки встречаются в природе (атмосфера, океаны), технике (аэродинамика, гидравлика) и промышленности (теплообмен, реакторы).

Понимание статистических характеристик и моделей турбулентности позволяет прогнозировать поведение сложных систем и оптимизировать процессы.

Оглавление