Течение Куэтта — это классическая задача гидродинамики, описывающая движение вязкой жидкости, заключённой между двумя параллельными плоскими пластинами, одна из которых движется относительно другой.
Рассмотрим две бесконечные параллельные пластины, расстояние между которыми равно h. Нижняя пластина неподвижна, верхняя движется с постоянной скоростью U. Вязкая жидкость между ними установилась в режиме ламинарного течения.
Уравнение движения для стационарного вязкого течения между пластинами сводится к уравнению баланса сил вязкого трения:
$$ \eta \frac{d^2 u}{dy^2} = 0 $$
где u(y) — скорость жидкости в слое на высоте y, η — динамическая вязкость.
u(0) = 0 (нижняя пластина неподвижна)
u(h) = U (верхняя пластина движется со скоростью U)
Интегрируя уравнение дважды и используя граничные условия, получаем линейное распределение скорости:
$$ u(y) = \frac{U}{h} y $$
Таким образом, скорость жидкости изменяется линейно от 0 у нижней пластины до U у верхней.
Вязкое напряжение на пластине вычисляется по формуле:
$$ \tau = \eta \frac{du}{dy} = \eta \frac{U}{h} $$
Это напряжение определяет силу трения между пластинами через жидкость.
Течение Куэтта является простейшим примером установившегося вязкого течения, важным для понимания процессов сдвига в жидкости. Оно используется в механике жидкостей для изучения вязкости и свойств слоистых течений, а также служит базовой моделью при анализе смазочных процессов и течений в тонких зазорах.
Если к задаче Куэтта добавить влияние градиента давления вдоль направления течения, то уравнение движения станет:
$$ \eta \frac{d^2 u}{dy^2} = \frac{dp}{dx} $$
где $\frac{dp}{dx}$ — градиент давления. Решение в этом случае будет суммой линейного течения Куэтта и параболического течения по закону Пуазейля, что моделирует более сложные течения в каналах.