Течение Пуазейля

Закон Пуазейля описывает ламинарное течение вязкой жидкости в длинной цилиндрической трубе постоянного сечения при установившемся режиме.

Основные условия применения

  • Течение ламинарное (то есть без турбулентных завихрений).
  • Труба длинная и узкая, с гладкими стенками.
  • Вязкая несжимаемая жидкость.
  • Давление изменяется вдоль трубы, создавая разность давлений.

Формулировка закона

Объёмный расход жидкости Q через трубу с радиусом R и длиной L, при разности давлений ΔP = P1 − P2, определяется формулой:

$$ Q = \frac{\pi R^4}{8 \eta L} \Delta P $$

где

  • η — динамическая вязкость жидкости,
  • R — радиус трубы,
  • L — длина трубы,
  • ΔP — разность давлений на концах трубы.

Физический смысл

  • Скорость жидкости максимальна в центре трубы и равна нулю у стенок (условие прилипания).
  • Профиль скорости имеет параболическую форму.
  • При уменьшении радиуса трубы расход падает пропорционально четвёртой степени радиуса, что демонстрирует большую чувствительность расхода к размеру сечения.

Вязкое сопротивление и потери давления

Давление уменьшается вдоль трубы из-за вязкого трения между слоями жидкости и между жидкостью и стенками трубы. Закон Пуазейля позволяет рассчитать эти потери, что важно при проектировании трубопроводов и инженерных систем.

Критерий Рейнольдса и режимы течения

Переход от ламинарного к турбулентному течению определяется безразмерным числом Рейнольдса Re:

$$ Re = \frac{\rho v D}{\eta} $$

где

  • ρ — плотность жидкости,
  • v — средняя скорость течения,
  • D = 2R — диаметр трубы,
  • η — вязкость.

Для труб Re < 2300 соответствует ламинарному режиму, при Re > 4000 — турбулентному, а в промежутке течение может быть переходным.

Практическое значение

Закон Пуазейля широко используется в гидравлике, медицине (например, для анализа кровотока), в технике для расчёта систем подачи жидкостей. Он позволяет предсказать расход при известных параметрах и оценить влияние изменения вязкости, давления и геометрии трубы.

Дополнительные аспекты

Энергетические соотношения при кипении и конденсации

  • Для перехода жидкости в пар при кипении требуется теплота парообразования L, которая подводится к системе.
  • При конденсации выделяется та же теплота, что можно использовать в тепловых машинах, холодильниках, системах отопления.

Нестабильности и явления при кипении

  • При резком снижении давления может происходить вспышка кипения с бурным выделением пара.
  • Могут формироваться перегретые жидкости — когда температура выше температуры кипения при данном давлении, но пузырьки не образуются из-за отсутствия центров образования.

Особенности течения в сложных системах

  • В реальных системах трубы могут быть изогнуты, с неровностями, что изменяет профили течения и увеличивает потери давления.
  • При турбулентном режиме уравнение Пуазейля неприменимо, требуется использование эмпирических формул и численного моделирования.
Оглавление