Теорема Стокса — фундаментальное утверждение в векторном анализе, связывающее циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру с потоком роторного поля через поверхность, ограниченную этим контуром.
В математической форме:
∮∂Sv ⋅ dr = ∬S(∇ × v) ⋅ dS
где
Физический смысл в гидродинамике: циркуляция скорости жидкости по замкнутому контуру равна суммарному вращению (ротору скорости) через поверхность, ограниченную этим контуром.
Теорема Кельвина — одно из ключевых утверждений идеальной гидродинамики, формулирующая сохранение циркуляции скорости вдоль замкнутого контурного следа, движущегося вместе с жидкостью.
Формулировка: В идеальной, несжимаемой, необтурбированной жидкости с потенциальным внешним телом, циркуляция скорости по замкнутому контуру, который движется вместе с жидкостью, сохраняется во времени.
Математически:
$$ \frac{d}{dt} \oint_{\Gamma(t)} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r} = 0 $$
где Γ(t) — контур, материал, движущийся с потоком жидкости.
Теорема Кельвина вытекает из уравнений Эйлера для идеальной жидкости и используется для упрощения анализа сложных течений.
| Понятие | Формула / выражение | Комментарии |
|---|---|---|
| Температура кипения | Pпар(T) = Pвнешн | Определяет точку кипения |
| Циркуляция | Γ = ∮v ⋅ dr | Интеграл скорости по замкнутому контуру |
| Ротор скорости | ω = ∇ × v | Вектор, описывающий локальное вращение |
| Теорема Стокса | ∮∂Sv ⋅ dr = ∬S(∇ × v) ⋅ dS | Связь циркуляции и роторного поля |
| Теорема Кельвина | $\frac{d}{dt} \oint_{\Gamma(t)} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r} = 0$ | Сохранение циркуляции в идеальной жидкости |