Уравнение Бернулли и его применения

Основное уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли описывает сохранение энергии для идеальной несжимаемой жидкости в стационарном потоке:

$$ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{const} $$

где

  • P — давление жидкости,
  • ρ — плотность,
  • v — скорость потока,
  • g — ускорение свободного падения,
  • h — высота относительно выбранного уровня.

Это уравнение выражает баланс между потенциальной энергией (гравитационная), кинетической энергией и энергией давления.

Предпосылки для уравнения Бернулли

  • Поток жидкости стационарен (не зависит от времени).
  • Жидкость несжимаема.
  • Отсутствие вязкости (идеальная жидкость).
  • Поток без трения и теплообмена.
  • Рассматривается вдоль одной линии тока.

Физический смысл уравнения

Уравнение говорит о том, что сумма энергий, приходящихся на единицу объёма жидкости, сохраняется вдоль линии тока. Если скорость увеличивается, давление уменьшается, и наоборот.

Примеры применения

  1. Определение скорости жидкости по разнице давлений (например, в трубах):

$$ v = \sqrt{\frac{2 (P_1 - P_2)}{\rho}} $$

  1. Работа водяных турбин и насосов — анализ изменения энергии жидкости.

  2. Аэродинамика — подъемная сила крыла самолёта объясняется разницей скоростей и давлений по формуле Бернулли.

  3. Приборы измерения расхода жидкости — дифманометры, сопла Вентури.

Дополнения и ограничения

  • В вязких жидкостях часть энергии теряется на трение, и уравнение необходимо дополнить поправками.
  • Для сжимаемых жидкостей (газы) уравнение принимает более сложный вид, учитывающий изменение плотности.
  • В реальных условиях часто используют уравнение с коэффициентами потерь.

Пример расчёта по уравнению Бернулли

Пусть жидкость течёт из резервуара через отверстие в стенке на высоте h. Давление на поверхности жидкости равно атмосферному P0, скорость там пренебрежимо мала v1 ≈ 0, а на выходе — атмосферное давление P2 = P0.

Из уравнения Бернулли:

$$ P_0 + \rho g h + 0 = P_0 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + 0 $$

Отсюда

$$ v_2 = \sqrt{2gh} $$

Это выражение называют законом Торричелли — скорость истечения жидкости через отверстие равна скорости свободного падения с высоты h.

Связь с уравнением неразрывности

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости:

A1v1 = A2v2

где A — площадь поперечного сечения потока. Вместе с уравнением Бернулли оно позволяет решать многие задачи гидродинамики.

Энергетический баланс в потоках жидкости

Уравнение Бернулли — один из вариантов выражения закона сохранения механической энергии для жидкости. В реальных системах необходимо учитывать затраты энергии на трение, турбулентность, изменение температуры.

Ключевые моменты

  • Кипение — фазовый переход при достижении давления насыщенного пара, кипение происходит по всему объему жидкости.
  • Температура кипения зависит от давления.
  • Конденсация — обратный процесс, выделяет теплоту.
  • Уравнение Бернулли связывает давление, скорость и высоту в стационарном потоке жидкости.
  • Используется для анализа гидродинамических процессов и расчёта параметров потока.
  • Требует идеализации: отсутствие вязкости, сжимаемости и турбулентности.
Оглавление