Уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа описывает баланс сил на поверхности раздела двух сред, вызванный поверхностным натяжением. Оно связывает разность давлений с кривизной поверхности.

Формулировка уравнения Лапласа

Для поверхности жидкости или газа, разделяющей две фазы, разность давлений по разные стороны поверхности выражается формулой:

$$ \Delta P = P_{\text{внутри}} - P_{\text{снаружи}} = \sigma \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) $$

где:

  • σ — коэффициент поверхностного натяжения,
  • R1, R2 — радиусы кривизны поверхности в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Физический смысл

  • Поверхностное натяжение стремится минимизировать площадь поверхности, создавая давление, направленное внутрь выпуклой поверхности.
  • Давление внутри капли жидкости или пузырька газа всегда больше, чем снаружи, благодаря эффекту поверхностного натяжения.

Частные случаи

  • Сфера: При сферической поверхности с радиусом R формула упрощается:

    $$ \Delta P = \frac{2\sigma}{R} $$

  • Цилиндр: Для цилиндрической поверхности с радиусом R и бесконечным радиусом по второму направлению:

    $$ \Delta P = \frac{\sigma}{R} $$

Применения уравнения Лапласа

  • Определение давления внутри капель и пузырьков — ключевой момент для понимания процессов кипения и конденсации.
  • Анализ устойчивости плёнок и поверхностных слоёв.
  • Исследование капиллярных явлений, включая поднятие жидкости в тонких трубках.
  • Используется в биофизике для описания поверхностного натяжения биологических мембран.

Влияние на фазовые переходы

Повышенное давление внутри пузырьков, обусловленное поверхностным натяжением, требует повышения температуры для начала кипения внутри жидкости. Это объясняет, почему пузырьки могут формироваться только при температуре выше нормальной температуры кипения.

Ключевые моменты

  • Кипение — процесс образования паровых пузырьков внутри жидкости, при котором давление пара равняется внешнему давлению.
  • Температура кипения зависит от давления и определяется уравнением Клапейрона–Клаузиуса.
  • Конденсация — обратный процесс, переход пара в жидкость при охлаждении или повышении давления.
  • Уравнение Лапласа связывает давление внутри капли или пузырька с радиусами кривизны и поверхностным натяжением.
  • Поверхностное натяжение создает дополнительное давление, влияющее на фазовые переходы жидкости и пара.
  • Эти процессы лежат в основе множества явлений в природе и технике: от образования дождя до работы паровых двигателей.
Оглавление