Уравнение неразрывности отражает закон сохранения массы для движущейся жидкости или газа. Оно утверждает, что масса, входящая в определённый объем за единицу времени, равна массе, выходящей из этого объема, если отсутствуют источники и стоки массы.
Для несжимаемой жидкости плотность ρ считается постоянной, и уравнение неразрывности имеет вид:
∇ ⋅ v = 0,
где v — вектор скорости жидкости.
Для сжимаемой жидкости уравнение записывается как:
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0. $$
Это уравнение выражает то, что изменение плотности в данной точке связано с расходом массы через границу объема.
Рассмотрим некоторый фиксированный объем V с границей S. Тогда закон сохранения массы можно записать так:
$$ \frac{d}{dt} \int_V \rho \, dV + \oint_S \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \, dS = 0, $$
где n — наружный нормальный вектор к поверхности.
Первая часть выражения — скорость изменения массы внутри объема, вторая — поток массы через поверхность.
Если течение стационарное, плотность и скорость не зависят от времени, то:
∇ ⋅ (ρv) = 0.
В случае несжимаемой жидкости (например, воды) это сокращается до:
∇ ⋅ v = 0,
то есть поток жидкости сохраняется.
Рассмотрим поток жидкости в трубе с меняющимся сечением. Пусть A1 и A2 — площади поперечного сечения в двух сечениях трубы, а v1 и v2 — скорости жидкости в этих сечениях.
Для несжимаемой жидкости:
A1v1 = A2v2,
что означает сохранение объема жидкости в единицу времени.
Если же жидкость сжимаема, следует учитывать изменение плотности:
ρ1A1v1 = ρ2A2v2.
Уравнение неразрывности является частью полной системы уравнений движения жидкости, включая уравнения Навье–Стокса и уравнение энергии. Оно служит основой для анализа потоков и упрощает решение сложных задач, задавая ограничения на скорость и плотность.
Ключевые моменты: