Уравнения движения Эйлера

Уравнения Эйлера описывают движение идеальной (невязкой, несжимаемой или сжимаемой) жидкости или газа без учета вязкости и теплопроводности. Они являются фундаментальной основой гидродинамики и газовой динамики.

Основные предпосылки

  • Жидкость идеальна, то есть не имеет вязкости и теплопроводности.
  • Течение является непрерывным и описывается полем скоростей v(r, t).
  • Давление, плотность и скорость — функции координат и времени.

Уравнения непрерывности и движения

1. Уравнение непрерывности отражает закон сохранения массы:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 $$

где ρ — плотность жидкости, v — вектор скорости.

2. Уравнение движения Эйлера выражает закон сохранения импульса:

$$ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = - \nabla p + \rho \mathbf{g} $$

где p — давление, g — ускорение свободного падения (или другая массовая сила).

Интерпретация уравнений Эйлера

  • Левая часть уравнения движения представляет собой материальную производную скорости (ускорение частиц жидкости).
  • Правая часть — силы, действующие на элемент жидкости: градиент давления и внешние силы.

Уравнение движения Эйлера можно переписать в более удобном виде, если ввести материальную производную:

$$ \frac{D \mathbf{v}}{D t} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} $$

Тогда уравнение принимает вид:

$$ \rho \frac{D \mathbf{v}}{D t} = - \nabla p + \rho \mathbf{g} $$

Уравнение состояния и замкнутость системы

Для замыкания системы уравнений необходима связь между параметрами жидкости — уравнение состояния:

p = p(ρ, T)

В случае идеального газа:

p = ρRT

где R — газовая постоянная, T — температура.

Примеры применения уравнений Эйлера

  • Анализ течения жидкости в трубах и каналам без вязкости.
  • Описание звуковых волн и ударных волн в газах.
  • Моделирование атмосферных и океанских потоков с пренебрежением вязкостью.

Энергетическое уравнение для идеальной жидкости

Для полного описания динамики идеальной жидкости вводится уравнение энергии:

$$ \rho \frac{D e}{D t} = - p \nabla \cdot \mathbf{v} + \rho q $$

где e — удельная внутренняя энергия, q — объемная плотность теплового источника.

В идеальной жидкости без тепловых источников q = 0.

Потенциальное течение

Если течение без вихрей, скорость можно представить как градиент скалярного потенциала:

v = ∇ϕ

Тогда уравнения движения Эйлера сводятся к уравнению для ϕ, упрощая анализ.

Ключевые моменты для запоминания:

  • Кипение — процесс фазового перехода жидкости в пар при достижении давления насыщенного пара.
  • Конденсация — обратный процесс, сопровождающийся выделением теплоты.
  • Уравнения Эйлера — базовые уравнения для движения идеальной жидкости без учета вязкости.
  • Уравнение непрерывности отражает сохранение массы, а уравнение Эйлера — сохранение импульса.
  • Замыкание системы обеспечивается уравнением состояния.
  • Потенциальное течение позволяет значительно упростить решение задач гидродинамики.
Оглавление