Уравнения МГД

Магнито-гидродинамика — раздел физики, изучающий движение электропроводящей жидкости (например, плазмы, расплавленных металлов) в магнитном поле.

Основные уравнения МГД

В МГД объединяются уравнения гидродинамики и уравнения электромагнетизма.

  1. Уравнение движения жидкости с учётом электромагнитных сил:

$$ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mathbf{J} \times \mathbf{B} + \rho \mathbf{g} + \mu \nabla^2 \mathbf{v} $$

где ρ — плотность жидкости, v — скорость жидкости, p — давление, J — плотность тока, B — магнитное поле, g — ускорение силы тяжести, μ — динамическая вязкость.

  1. Уравнение непрерывности (сохранения массы):

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 $$

  1. Уравнение Максвелла в квазинейтральной плазме (без смещения):

∇ × B = μ0J

∇ ⋅ B = 0

где μ0 — магнитная постоянная.

  1. Закон Ома для движущейся проводящей среды:

J = σ(E + v × B)

где σ — электрическая проводимость, E — электрическое поле.

  1. Уравнение индукции магнитного поля:

Выводится из уравнений Максвелла и закона Ома, с учетом движения среды:

$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) + \eta \nabla^2 \mathbf{B} $$

где $\eta = \frac{1}{\mu_0 \sigma}$ — магнитная диффузия.

Физический смысл основных терминов

  • J × B — сила Лоренца, действующая на движущуюся электропроводящую жидкость, изменяет её движение.
  • Магнитное поле оказывает сопротивление движению заряженных частиц, меняя характер течения жидкости.

Параметры и характеристики МГД

  • Число Магнуса — отношение электромагнитных сил к инерционным силам.
  • Число Рейнольдса — отношение инерционных сил к вязким силам.
  • Магнитный Рейнольд — Rm:

$$ R_m = \frac{v L}{\eta} $$

где v — характерная скорость, L — характерный масштаб длины.

  • При Rm ≫ 1 магнитное поле “заморожено” в жидкости, течения влияют на поле.
  • При Rm ≪ 1 магнитное поле диффундирует, мало зависит от течения.

Применения МГД

  • Управление потоками в металлургии (электромагнитное перемешивание).
  • Генераторы МГД — преобразование кинетической энергии жидкости непосредственно в электрическую.
  • Исследование процессов в плазме, астрофизике, геофизике.

Ключевые моменты

  • Кипение — это процесс образования пара по всему объему жидкости, требующий равенства давления пара и внешнего давления.
  • При кипении происходит поглощение скрытой теплоты, без изменения температуры.
  • Конденсация — обратный процесс, выделяющий скрытую теплоту.
  • В МГД сочетаются уравнения гидродинамики и электромагнетизма для описания движущейся электропроводящей жидкости.
  • Сила Лоренца (J × B) является ключевой для изменения характера течения в МГД.
  • Магнитный Рейнольд Rm определяет режим взаимодействия жидкости и магнитного поля.
Оглавление