Уравнения Навье-Стокса

Уравнения Навье-Стокса описывают движение вязкой несжимаемой или сжимаемой жидкости и газа, учитывая внутренние силы трения (вязкость), инерцию и внешние силы.

Основные предпосылки

  • Жидкость рассматривается как сплошная среда.
  • Законы сохранения массы, импульса и энергии применяются к малым элементам жидкости.
  • Вязкость реализована через тензор напряжений.

Запись уравнений

Для несжимаемой жидкости уравнения Навье-Стокса имеют вид:

$$ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = - \frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f} $$

где:

  • u(x, t) — вектор скорости жидкости,
  • t — время,
  • ρ — плотность жидкости,
  • p(x, t) — давление,
  • $\nu = \frac{\mu}{\rho}$ — кинематическая вязкость (μ — динамическая вязкость),
  • f — плотность внешних сил (например, гравитация).

Также действует уравнение непрерывности для несжимаемой жидкости:

∇ ⋅ u = 0

Физический смысл членов уравнения

  • $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}$ — локальное изменение скорости с течением времени.
  • (u ⋅ ∇)u — перенос (конвекция) скорости самой жидкостью.
  • $- \frac{1}{\rho} \nabla p$ — сила градиента давления, движущая жидкость.
  • ν∇2u — вязкое (внутреннее) трение, способствующее затуханию скорости.
  • f — внешние силы, например, гравитационное ускорение g.

Граничные условия

Для решения уравнений Навье-Стокса необходимы граничные условия:

  • Условие прилипания: на твердой поверхности скорость жидкости равна скорости поверхности (обычно нулю).
  • Условия на бесконечности или вдалеке от тела (например, скорость стремится к некоторому значению).

Решение и особенности

  • Уравнения являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, что усложняет их аналитическое решение.
  • Для большинства задач используются численные методы (например, методы конечных элементов, конечных объемов).
  • В зависимости от условий и параметров решения могут быть ламинарными (плавное течение) или турбулентными (хаотическое движение).
  • Турбулентность остаётся одной из самых сложных проблем классической механики жидкости.

Уравнения для сжимаемой жидкости и газа

Для сжимаемых сред уравнения Навье-Стокса дополняются уравнениями состояния и энергетическим балансом:

  • Уравнение непрерывности:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0 $$

  • Уравнение движения:

$$ \frac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{T} + \rho \mathbf{f} $$

где T — тензор вязких напряжений.

  • Уравнение энергии:

$$ \frac{\partial}{\partial t} \left( \rho e + \frac{1}{2} \rho u^2 \right) + \nabla \cdot \left[ \left( \rho e + p + \frac{1}{2} \rho u^2 \right) \mathbf{u} \right] = \nabla \cdot (\mathbf{u} \cdot \mathbf{T}) + \rho \mathbf{u} \cdot \mathbf{f} + \nabla \cdot \mathbf{q} $$

где e — внутренняя энергия на единицу массы, q — тепловой поток.

Таким образом, уравнения Навье-Стокса представляют фундаментальный аппарат для описания движения жидкостей и газов в самых разных задачах — от микроскопических течений до атмосферных и океанических процессов. Кипение и конденсация, в свою очередь, являются ключевыми фазовыми переходами, которые существенно влияют на тепломассообмен и динамику потоков.

Оглавление