Уравнения Рейнольдса — это форма уравнений движения жидкости или газа, в которой учитываются турбулентные колебания скорости и давления. Они лежат в основе теории турбулентного течения.
Для описания турбулентного течения используют разложение поля скорости и давления на среднее и флуктуационное компоненты:
$$ u_i = \overline{u_i} + u_i' $$
$$ p = \overline{p} + p' $$
где
Подставляя разложение в исходные уравнения и усредняя по времени, получаем уравнения Рейнольдса для средних скоростей и давления:
$$ \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial t} + \overline{u_j} \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \overline{u_i}}{\partial x_j^2} - \frac{\partial}{\partial x_j} \overline{u_i' u_j'} $$
где
Последний член $- \frac{\partial}{\partial x_j} \overline{u_i' u_j'}$ отражает влияние турбулентных флуктуаций на среднее течение. Тензор $\overline{u_i' u_j'}$ играет роль дополнительного турбулентного напряжения, увеличивающего эффективную вязкость.
Формально:
$$ \tau_{ij}^t = - \rho \overline{u_i' u_j'} $$
где τijt — турбулентные напряжения.
Проблема уравнений Рейнольдса состоит в том, что при усреднении появляется неизвестный тензор $\overline{u_i' u_j'}$. Для его вычисления разработаны модели турбулентности:
Модель Эдди-вязкости — предположение о пропорциональности тензора турбулентных напряжений к градиенту средних скоростей.
Модели k − ε и k − ω — более сложные модели, описывающие перенос кинетической энергии турбулентных флуктуаций и их диссипацию.
Уравнения Рейнольдса дополняются уравнением непрерывности для несжимаемой жидкости:
$$ \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_i} = 0 $$
для полной постановки задачи.
Уравнения Рейнольдса широко применяются для моделирования турбулентных течений в гидродинамике, аэродинамике, гидротехнике, теплообмене. Они лежат в основе численного моделирования методом большого числа вычислительных ячеек — LES (Large Eddy Simulation) и других подходов.