Четырехмерное пространство-время Минковского

Метрика Минковского и структура пространства-времени

В специальной теории относительности пространство и время объединяются в единый четырёхмерный континуум — пространство-время Минковского. Этот континуум обладает псевдоевклидовой метрикой, что коренным образом отличает его от трёхмерного евклидова пространства.

Пусть инерциальная система отсчёта описывается координатами (ct, x, y, z), где c — скорость света, t — время, x, y, z — пространственные координаты. Тогда интервал между двумя событиями с координатами (ct1, x1, y1, z1) и (ct2, x2, y2, z2) определяется формулой Минковского:

s2 = −c2(t2 − t1)2 + (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

или в краткой форме:

s2 = −c2Δt2 + Δx2 + Δy2 + Δz2

Этот интервал s2 инвариантен относительно преобразований Лоренца, то есть не зависит от выбора инерциальной системы отсчёта.

Типы интервалов и причинность

Интервал s2 может быть:

  • времеподобным, если s2 < 0: события могут быть причинно связаны, существует система отсчёта, в которой они происходят в одной и той же точке пространства;
  • пространственноподобным, если s2 > 0: события не могут быть причинно связаны, они происходят слишком далеко друг от друга во времени и пространстве, чтобы свет или сигнал мог пройти между ними;
  • светоподобным, если s2 = 0: события соединены лучом света, и именно такая кривая описывает движение безмассовой частицы, например фотона.

Это деление определяет структуру светового конуса в пространстве Минковского, где ось времени выделена по отношению к пространственным направлениям.

Математическая структура: псевдориманова метрика

Пространство Минковского является частным случаем псевдориманова многообразия. Метрика в четырёхмерной записи с индексной нотацией:

ds2 = ημνdxμdxν

где μ, ν = 0, 1, 2, 3, x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z, а метрический тензор ημν имеет диагональный вид:

ημν = diag(−1, 1, 1, 1)

Это фиксирует сигнатуру метрики как (−, +, +, +). Индексация позволяет легко переходить к ковариантным и контравариантным векторным и тензорным полям, необходимым для тензорной формулировки физики.

Лоренц-инвариантность и группа симметрий

Симметрии пространства Минковского описываются группой Лоренца O(1, 3), которая включает:

  • преобразования Лоренца (бусты и вращения),
  • отражения во времени и пространстве.

Группа Лоренца сохраняет интервал Минковского, а её представления играют центральную роль в квантовой теории поля и релятивистской механике. Все фундаментальные уравнения специальной теории относительности (например, уравнение Максвелла, уравнение Клейна–Гордона, уравнение Дирака) инвариантны относительно преобразований этой группы.

Четырёхвекторы и ковариантная запись законов физики

Основные физические величины в специальной теории относительности формулируются как четырёхмерные векторы:

  • четырёхпозиция: xμ = (ct, x⃗),
  • четырёхскорость: $u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}$,
  • четырёхимпульс: pμ = muμ,
  • четырёхсила: $f^\mu = \frac{dp^\mu}{d\tau}$,

где τ — собственное время. Эти величины трансформируются по правилам преобразований Лоренца, и их скалярные произведения сохраняются.

Например, инвариант массы тела выражается через четырёхимпульс:

pμpμ = −m2c2

Собственное время и мировые линии

Движение материальной частицы в пространстве Минковского описывается мировой линией, параметризуемой собственным временем τ. Собственное время определяется как:

$$ d\tau = \sqrt{dt^2 - \frac{1}{c^2}(dx^2 + dy^2 + dz^2)} = \frac{ds}{c} $$

или в тензорной форме:

$$ d\tau^2 = -\frac{1}{c^2} \eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu $$

Собственное время — это физическое время, измеряемое часами, движущимися вместе с частицей, и оно всегда меньше координатного времени (за исключением случая покоя, когда они совпадают).

Конус причинности и структура пространства событий

Световой конус в пространстве Минковского представляет собой множество всех возможных направлений движения света из данной точки пространства-времени. Он делит пространство-время на три области:

  • внутри конуса — будущее и прошлое события, достижимые и достижимые сигналом со скоростью света или ниже;
  • вне конуса — события, причинно не связанные с данным (принцип причинности);
  • по поверхности конуса — светоподобные события.

Конус причинности фундаментален в определении возможных взаимодействий и передачи информации, и он же лежит в основе всех релятивистских моделей поля.

Формализм тензоров в пространстве Минковского

Для описания физических полей в пространстве Минковского удобно использовать тензорный формализм. Примеры:

  • тензор электромагнитного поля Fμν,
  • тензор энергии-импульса Tμν.

Законы сохранения (например, закон сохранения энергии и импульса) в релятивистской форме записываются как:

∂μTμν = 0

что отражает локальную инвариантность при трансляциях в пространстве-времени. В специальной теории относительности производные — частные, поскольку пространство плоское. В общей теории относительности частные производные заменяются на ковариантные.

Пространство Минковского как предел гравитационных теорий

Пространство-время Минковского является локальным пределом более общей криволинейной геометрии общей теории относительности. В окрестности каждой точки произвольного псевдориманова многообразия (кривого пространства-времени) существует касательное пространство, изометричное Минковскому. Это утверждение выражается через принцип эквивалентности и лежит в основе геометризации гравитации.

Таким образом, пространство Минковского — это «плоское» пространство-время, в котором отсутствует гравитационное поле, но которое служит основой для понимания гравитации как искривления пространства-времени.

Оглавление