В современной космологии центральное место занимает численное решение уравнений Эйнштейна в тех случаях, когда симметрии пространства-времени недостаточны для аналитического подхода. Основной задачей численного моделирования является преобразование тензорных уравнений в систему дифференциальных уравнений, пригодных для решения на конечной сетке. Для этого пространство и время разбиваются на дискретные ячейки, и производные заменяются разностными аналогами.
Для уравнений гравитационного поля, как правило, применяется формализм ADM (Арновитт–Дезер–Мизнер), который разделяет пространство-время на трёхмерные гиперповерхности постоянного времени и задаёт эволюционные уравнения для метрики и её производных. Дискретизация производится либо с помощью методов конечных разностей, либо с использованием методов спектральной декомпозиции (например, разложение в ряды по базису Чебышёва или сферических функций).
Особое внимание уделяется устойчивости численного метода. Например, при использовании явных схем временного интегрирования необходимо соблюдать условие Куранта–Фридрихса–Леви (CFL) для предотвращения численных неустойчивостей. Альтернативой являются неявные или полунеявные методы, позволяющие использовать более крупные временные шаги.
Моделирование формирования галактик и скоплений в рамках ΛCDM-модели требует численного решения уравнений движения тёмной материи, газа и излучения. Тёмная материя, будучи гравитационно взаимодействующей, но не подверженной давлению, моделируется как ансамбль частиц, движущихся по гравитационным траекториям.
Для этих целей используются N-body симуляции, в которых вычисляется сила гравитационного взаимодействия между частицами. Наиболее распространённые алгоритмы:
Для описания барионного вещества необходима гидродинамика. В космологических симуляциях применяются:
Эволюция гидродинамических переменных подчиняется уравнениям Навье–Стокса в релятивистской или ньютоновской форме, модифицированным с учётом расширения Вселенной. Важно учитывать охлаждение, звездообразование, обратную связь от сверхновых, фотоионизацию и другие астрофизические процессы.
В контексте однородно-изотропной Вселенной уравнения Фридмана-Леметра можно решить с высокой точностью аналитически. Однако при наличии нескольких компонентов (излучение, нейтрино, тёмная энергия, тёмная материя) или модифицированных гравитационных теорий, часто прибегают к численному интегрированию системы уравнений:
$$ \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho_{\text{tot}} - \frac{k}{a^2} + \frac{\Lambda}{3}, $$
где плотность энергии ρtot(a) зависит от конкретной модели.
Интегрирование проводится с использованием Runge-Kutta методов высокого порядка (например, 4-го или 5-го), с автоматическим выбором шага по переменной a или по времени. При необходимости учитывается взаимодействие между компонентами (например, взаимодействующая тёмная энергия).
Для описания малых неоднородностей плотности в ранней Вселенной применяется теория линейных возмущений. Уравнения для амплитуд возмущений плотности, скорости, потенциала и температуры записываются в виде системы ОДУ или ОЧУ (обычных или чётных дифференциальных уравнений), зависящих от волнового числа k и космологического времени.
Численное решение этой системы — задача, решаемая кодами вроде CLASS (Cosmic Linear Anisotropy Solving System) и CAMB (Code for Anisotropies in the Microwave Background). Эти коды вычисляют:
Для обеспечения точности интегрирования при резонансах (например, вблизи рекомбинации) используются адаптивные сетки по времени и частоте.
Важным этапом является моделирование наблюдаемых величин, таких как карты космического микроволнового фона, гравитационного линзирования и структур большого масштаба. Для этого применяется ray-tracing по численно полученному метрическому полю или полю гравитационного потенциала.
Трассировка световых лучей требует решения уравнения геодезических в параметрической форме:
$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\nu\sigma} \frac{dx^\nu}{d\lambda} \frac{dx^\sigma}{d\lambda} = 0, $$
где λ — аффинный параметр. Решение проводится численно, начиная от наблюдателя и продвигаясь к ранним эпохам.
Особый интерес представляет сильное гравитационное линзирование, моделируемое с помощью метода изображения (image-plane) или метода источника (source-plane), особенно в симуляциях гало и скоплений.
Современные космологические симуляции требуют колоссальных вычислительных ресурсов. Например, проект Illustris, Millennium или TNG использует до миллионов ядерных часов на кластерах. Распараллеливание осуществляется:
Используются библиотеки MPI, OpenMP, CUDA, а также фреймворки вроде Gadget, Enzo, RAMSES, ART, Arepo. Критически важным является управление вводом-выводом данных, балансировка нагрузки и масштабируемость при увеличении числа вычислительных узлов.
Результаты симуляций имеют объём от десятков до сотен терабайт. Их анализ требует разработки специализированных алгоритмов:
Для визуализации используются объемные методы рендеринга, проекции плотностей, фазовые диаграммы, а также синтетические карты наблюдений (mock catalogs), воспроизводящие характеристики реальных обзоров (например, SDSS, DES, Euclid).
Любая численная модель должна быть тщательно протестирована:
Систематические ошибки (например, из-за разрешения, неполной физики, срезов выборки) должны быть учтены при интерпретации результатов.