Основные понятия дифференциальной геометрии в контексте гравитационной физики
В гравитационной физике, особенно в рамках общей теории относительности, пространство-время описывается как четырёхмерное риманово многообразие, то есть гладкое многообразие, снабжённое метрикой, которая определяет геометрические и физические свойства. Риманово многообразие обобщает евклидову геометрию на произвольные гладкие многообразия, что позволяет описывать искривлённые пространства, возникающие в присутствии масс и энергии.
Гладкое многообразие размерности n — это топологическое пространство, локально гомеоморфное евклидову пространству ℝn, и допускающее гладкую структуру. Каждый участок многообразия покрывается координатной картой, то есть отображением из открытого подмножества U ⊂ M в ℝn, называемым локальной системой координат.
Совокупность всех таких карт, согласованных между собой (т.е. с гладкими переходными функциями), образует атлас, определяющий гладкую структуру многообразия.
Для каждой точки p ∈ M можно определить касательное пространство TpM, состоящее из всех касательных векторов в этой точке. Касательные векторы можно определить как дифференциальные операторы, действующие на гладкие функции:
$$ v(f) = \left.\frac{d}{d\lambda} f(\gamma(\lambda))\right|_{\lambda = 0} $$
где γ(λ) — гладкая кривая, проходящая через точку p = γ(0), а f — гладкая функция на M.
Гладкое векторное поле — это отображение X : M → TM, сопоставляющее каждой точке p касательный вектор X(p) ∈ TpM.
Касательному пространству соответствует сопряжённое (двойственное) пространство — котангенциальное пространство Tp*M, элементы которого называются ковекторами. Они действуют на векторы линейным образом:
ω(v) ∈ ℝ, ω ∈ Tp*M, v ∈ TpM
Дифференциальные формы общего ранга определяются как полностью антисимметричные тензоры ковариантного типа. Например, 1-форма — это ковектор, 2-форма — это антисимметричная билинейная форма и т.д.
Метрика на многообразии — это симметричный, невырожденный (псевдо)тензор второго ранга gμν(x), определённый на всём многообразии. Она задаёт скалярное произведение двух векторов vμ, wν в каждой точке:
g(v, w) = gμνvμwν
В случае общей теории относительности метрика имеет сигнатуру (− + ++) и называется псевдоримановой. Через метрику определяется длина векторов, углы, объёмы и, главное, геометрия гравитационного поля.
Для описания параллельного переноса и производных вектора в различных точках многообразия вводится понятие связности. Связность даёт правило, по которому можно сравнивать векторы в разных точках многообразия.
Наиболее естественным выбором связности в римановой геометрии является связность Леви-Чивита, которая:
Компоненты связности Леви-Чивита задаются символами Кристоффеля:
$$ \Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma} \left( \partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} - \partial_\sigma g_{\mu\nu} \right) $$
С помощью связности определяется ковариантная производная:
∇μVν = ∂μVν + ΓμλνVλ
Геодезические — это обобщение понятия “прямой линии” на искривлённое многообразие. Это такие кривые γμ(λ), которые удовлетворяют уравнению:
$$ \frac{d^2 \gamma^\mu}{d\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\nu\sigma} \frac{d\gamma^\nu}{d\lambda} \frac{d\gamma^\sigma}{d\lambda} = 0 $$
Это уравнение описывает траекторию свободного падения в гравитационном поле, то есть движение частицы без действия негравитационных сил.
Ключевое понятие геометрии — это кривизна. Она характеризует отклонение многообразия от плоской (евклидовой или псевдоевклидовой) геометрии.
Основным объектом, описывающим кривизну, является тензор Римана:
R σμνρ = ∂μΓνσρ − ∂νΓμσρ + ΓμλρΓνσλ − ΓνλρΓμσλ
Из него выводятся:
Симметрии риманова многообразия описываются векторными полями Киллинга, удовлетворяющими уравнению:
∇μξν + ∇νξμ = 0
Они порождают изометрии — преобразования, сохраняющие метрику. В физике это соответствует сохранению физических величин, таких как энергия, импульс, момент импульса и т.д., через теорему Нётер.
Тензоры — это геометрические объекты, определяемые независимо от выбора координат. При переходе к новой системе координат xμ → xμ′, компоненты тензора преобразуются по определённым правилам. Это гарантирует, что физические уравнения, сформулированные в тензорной форме, сохраняют смысл при любом выборе координатной системы.
Тензорные преобразования лежат в основе ковариантности уравнений гравитационной физики.
На ориентированном римановом многообразии объём задаётся объёмной формой:
$$ dV = \sqrt{|\det g|}\, dx^0 \wedge dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3 $$
которая позволяет проводить интегрирование скалярных величин и дифференциальных форм. Это необходимо, например, при вычислении действия гравитационного поля или при определении интегральных инвариантов.
Каждое из этих решений определяется выбором конкретной метрики gμν и раскрывает геометрические аспекты гравитационных явлений.