Классическая и квантовая гравитация в экстрадименсиональных моделях
Одним из первых подходов к включению дополнительных пространственных измерений была теория Калуцы–Клейна, в рамках которой пятая координата компактифицируется на окружность радиуса R, так что полное пространство-время имеет структуру ℳ4 × S1. Метрика пятимерного пространства-времени gAB (A, B = 0, 1, 2, 3, 5) раскладывается на:
Динамика в пяти измерениях описывается действием Эйнштейна–Гильберта:
$$ S = \frac{1}{16\pi G_5} \int d^5x \sqrt{-g^{(5)}} R^{(5)}, $$
которое при компактификации приводит к действию в четырёх измерениях, включающему гравитацию, электромагнетизм и скалярное поле. Таким образом, теория Калуцы–Клейна обеспечивает объединение гравитации и электродинамики в геометрических терминах.
Однако компактные измерения остаются недоступными прямому эксперименту при условии, что радиус компактификации R ≲ 10−18 м. Это породило идеи об их возможном влиянии лишь при высоких энергиях.
Предложенная Арканием, Димопулосом и Двали в 1998 году, ADD-модель постулирует существование n дополнительных пространственных измерений, компактифицированных на тор Tn, через которые может распространяться только гравитация, в то время как все стандартные модельные поля локализованы на 4-мерном бране.
Пространство-время в этой модели имеет структуру:
ℳ4 + n = ℳ4 × (S1)n.
Гравитационный потенциал на малых расстояниях (меньше радиуса компактификации R) становится (в 4 + n измерениях):
$$ V(r) \sim \frac{1}{M_{*}^{n+2}} \cdot \frac{1}{r^{n+1}}, $$
где M* — фундаментальная гравитационная масса в 4 + n измерениях. При переходе к большим расстояниям восстанавливается закон Ньютона:
$$ V(r) \sim \frac{1}{M_{\text{Pl}}^2} \cdot \frac{1}{r}, $$
где MPl2 ∼ M*n + 2Rn. Таким образом, при достаточно больших R можно понизить фундаментальный масштаб гравитации M* до тевэ-уровня, устраняя иерархию между масштабом слабого взаимодействия и гравитацией.
Модели Randall–Sundrum (RS) используют некомпактные или слабо компактифицированные измерения и кривизну пространства для решения проблемы иерархии.
Пространство-время — 5-мерная анти-де Ситтеровская геометрия (AdS5) с метрикой:
ds2 = e−2krc|ϕ|ημνdxμdxν − rc2dϕ2,
где ϕ ∈ [−π, π] — дополнительная координата, rc — радиус компактификации, k ∼ MPl. Существуют два 3-брaна: «планковский» при ϕ = 0 и «тевэ-брaн» при ϕ = π. Масштаб на тевэ-бране подавлен экспоненциально:
mphys = m0e−krcπ,
что позволяет естественно объяснить малость масштабов слабого взаимодействия при умеренных значениях krc ∼ 12.
Модель RS2 предполагает один бране, находящийся в бесконечном пятом измерении, но благодаря кривизне (отрицательной космологической постоянной в объёме) гравитация эффективно локализуется на бране. Метрика имеет тот же вид, но ϕ ∈ [0, ∞). Гравитационные поправки к ньютоновскому потенциалу на бране имеют вид:
$$ V(r) \sim \frac{1}{r} \left(1 + \frac{1}{(k r)^2}\right), $$
что согласуется с наблюдениями при k ≳ TeV.
В экстрадименсиональных моделях гравитационные флуктуации распадаются на «нулевую моду» (обычная 4D-гравитация) и башню возбуждённых мод Калуцы–Клейна, каждая из которых вносит вклад в гравитационное взаимодействие на малых расстояниях. В ADD-модели масса мод mn ∼ n/R, и при R ∼ 10−4 мм возможны отклонения от закона Ньютона на субмиллиметровых масштабах.
В RS-моделях структура спектра существенно изменяется: нулевая мода локализована на бране, а непрерывный спектр возбуждённых мод подавляется фактором e−krc, что делает такие модели феноменологически согласованными с текущими ограничениями.
В многомерной космологии поведение расширяющейся Вселенной существенно отличается от стандартной картины. Уравнения Фридмана в RS-космологии включают квадратичные поправки по энергии материи:
$$ H^2 \propto \rho + \frac{\rho^2}{\lambda}, $$
где λ — натяжение брана. При низких энергиях восстанавливается обычная динамика, а при высоких — существенные отклонения, важные на ранних стадиях эволюции.
Кроме того, гравитационные волны могут утекать в объемное измерение, что влияет на космологические ограничения, например, на нуклеосинтез и структуру анизотропии реликтового излучения.
В суперструнных теориях наличие дополнительных измерений является необходимым: пространство-время имеет 10 (или 11 в M-теории) измерений. Экстрадименсиональные направления компактифицируются на многообразиях типа Калаби–Яу. D-браны в этих теориях выступают как объекты, на которых заканчиваются открытые струны — носители калибровочных взаимодействий. Стандартная модель размещается на D3-бране, в то время как гравитация распространяется по всем измерениям.
Такие конструкции не только объясняют локализацию материи, но и позволяют реализовать механизмы стабилизации модулей, инфляции и рождения Вселенной в виде столкновения бран (например, в сценарии экпиротической или бране-инфляции).
Исследование отклонений от закона Ньютона на субмиллиметровых масштабах, а также наблюдения за потерями энергии в ускорителях (например, в виде невидимых гравитонов) позволяют устанавливать ограничения на радиусы экстраизмерений и масштаб гравитации M*. Для двух дополнительных измерений, например, гравитационные эксперименты требуют R ≲ 0.1 мм, что даёт M* ≳ 10 ТэВ.
Поиск сигнатур возбуждённых мод Калуцы–Клейна (резонансы гравитонов, деформация кросс-секций) является активной областью на коллайдерах (LHC и др.), а также в астрофизике — по наблюдениям за охлаждением звёзд и испарением чёрных дыр.
Включение дополнительных измерений может существенно изменить ультрафиолетовое поведение гравитации. В частности, в теориях с низким гравитационным масштабом возможно формирование микроскопических чёрных дыр при высокоэнергетических столкновениях, что порождает интерес к сценариям квантовой гравитации в многомерной среде. Кроме того, существование экстраизмерений влияет на потоки информации при испарении чёрных дыр, модифицируя парадокс информации.
Многообразие форм компактифицированных измерений — от тороидальных до сложных неравномерных структур с варьируемой кривизной и фибрацией — позволяет строить реалистичные модели, в которых физические параметры (массы, куплинги, константы) зависят от геометрии скрытых направлений. Модули пространств (размеры, формы) требуют стабилизации, например, с помощью механизмов Голдбергера–Уайза.
Дополнительные направления могут иметь нерегулярную структуру, как в «локализованных гравитациях» с изломанными или фрактальными измерениями, что изучается, в частности, в контексте нестабильных метрик и сценариев с переменной размерностью.
Для практического описания физики при низких энергиях проводится интеграция по экстраизмерениям, приводящая к четырёхмерной эффективной теории. При этом важна правильная нормализация полей, учёт мод Калуцы–Клейна, поправок от флуктуаций метрики и взаимодействий между бранами. Эффективное описание часто включает новые скалярные поля (модули, дилатоны), которые должны быть либо стабилизированы, либо заморожены.
Появление экстраизмерений приводит к модификациям закона тяготения, космологическим следствиям, новым частицам и взаимодействиям. Эти эффекты активно исследуются как в рамках теоретической гравитации, так и в экспериментальных проектах будущих поколений.