Ковариантная формулировка электродинамики
Специальная теория относительности требует, чтобы все физические законы были инвариантны относительно преобразований Лоренца. В этом контексте электродинамика, построенная в рамках классической физики, должна быть переписана в лоренц-ковариантной форме. Это приводит к естественному объединению электрических и магнитных полей в единый математический объект — электромагнитный тензор, а уравнения Максвелла — к компактной тензорной записи.
В рамках специальной теории относительности координаты событий в пространстве-времени описываются четырёхвектором
xμ = (ct, x, y, z),
где μ = 0, 1, 2, 3, а метрический тензор ημν = diag(1, −1, −1, −1) используется для возведения и опускания индексов.
Четырёх-вектор потенциала
$$ A^\mu = \left( \frac{\phi}{c}, \mathbf{A} \right) $$
содержит скалярный потенциал ϕ и векторный потенциал A. На его основе строится антисимметричный тензор электромагнитного поля:
Тензор второго ранга
Fμν = ∂μAν − ∂νAμ
содержит полную информацию об электрическом и магнитном полях. В явном виде его компоненты имеют следующий вид:
$$ F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \\ \end{pmatrix} $$
Здесь E и B — векторы электрического и магнитного поля соответственно. Антисимметрия Fμν = −Fνμ отражает фундаментальное свойство взаимодействия.
Уравнения Максвелла можно выразить с помощью тензора Fμν следующим образом:
Однородные уравнения Максвелла:
∂λFμν + ∂μFνλ + ∂νFλμ = 0
Эти уравнения следуют непосредственно из определения тензора Fμν как внешнего дифференциала четырёхпотенциала. Они содержат законы Фарадея и отсутствие магнитных зарядов.
Неоднородные уравнения Максвелла:
∂νFμν = μ0Jμ
где Jμ = (cρ, j) — четырёхток, включающий плотность заряда ρ и плотность тока j. Эти уравнения соответствуют законам Гаусса и Ампера с поправкой Максвелла.
Важной особенностью тензорной формулировки является наличие лоренц-инвариантов, не зависящих от системы отсчёта:
$$ I_1 = F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} = 2 \left( \mathbf{B}^2 - \frac{\mathbf{E}^2}{c^2} \right) $$
$$ I_2 = \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu} F_{\rho\sigma} = -\frac{8}{c} (\mathbf{E} \cdot \mathbf{B}) $$
Эти скаляры играют ключевую роль в анализе поля в различных системах отсчёта. Например, если E ⋅ B = 0 и |E| > c|B|, то существует система отсчёта, в которой магнитное поле исчезает, и поле является чисто электрическим.
Так как Fμν — тензор второго ранга, его компоненты подчиняются правилам преобразования Лоренца:
F′μν = Λ αμΛ βνFαβ
В частном случае движения вдоль оси x с постоянной скоростью v, компоненты электрического и магнитного полей трансформируются следующим образом:
$$ \begin{aligned} E'_x &= E_x, \\ E'_y &= \gamma(E_y - v B_z), \\ E'_z &= \gamma(E_z + v B_y), \\ B'_x &= B_x, \\ B'_y &= \gamma\left(B_y + \frac{v E_z}{c^2} \right), \\ B'_z &= \gamma\left(B_z - \frac{v E_y}{c^2} \right), \end{aligned} $$
где $\gamma = 1 / \sqrt{1 - v^2 / c^2}$ — лоренцевский множитель. Эти формулы подчёркивают взаимосвязь между электрическим и магнитным полями: в одной системе поле может быть электрическим, в другой — уже магнитным.
Тензорное уравнение
∂μJμ = 0
выражает закон сохранения электрического заряда. Это следствие неоднородных уравнений Максвелла и антисимметрии тензора поля. В интегральной форме этот закон принимает вид:
$$ \frac{d}{dt} \int_V \rho \, d^3x + \oint_{\partial V} \mathbf{j} \cdot d\mathbf{S} = 0, $$
то есть скорость изменения заряда в объёме V равна потоку тока через его границу.
Динамика заряженной частицы массой m и зарядом q в электромагнитном поле описывается уравнением Лоренца в четырёхмерной форме:
$$ \frac{dp^\mu}{d\tau} = q F^{\mu\nu} u_\nu, $$
где pμ = muμ — четырёхимпульс, uμ — четырёхскорость частицы, τ — собственное время. Это уравнение обобщает известную формулу силы Лоренца на релятивистский случай.
Физические поля E и B не изменяются при следующем преобразовании потенциалов:
Aμ → Aμ + ∂μΛ,
где Λ(xμ) — произвольная скалярная функция. Это преобразование называется калибровочным. Калибровочная инвариантность лежит в основе квантовой электродинамики и других калибровочных теорий.
Наиболее часто используемые калибровки:
∂μAμ = 0
Она сохраняет ковариантную форму и особенно удобна в теории излучения и в квантовой электродинамике.
∇ ⋅ A = 0
Используется в нерелятивистском приближении и при рассмотрении статических полей.
Плотность энергии и потока энергии поля описываются тензором энергии-импульса:
$$ T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu\alpha} F^\nu_{\ \alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu} F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta} \right) $$
Компоненты T00 и T0i представляют собой соответственно плотность энергии и плотность потока энергии (вектор Пойнтинга):
$$ \begin{aligned} u &= \frac{\varepsilon_0}{2} \mathbf{E}^2 + \frac{1}{2\mu_0} \mathbf{B}^2 \\ \mathbf{S} &= \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \end{aligned} $$
Уравнение сохранения энергии и импульса поля выражается как:
∂νTμν + FμνJν = 0,
что включает в себя как поток энергии, так и работу поля над токами.
При v ≪ c и слабых полях, ковариантные формулы переходят в обычные уравнения Максвелла и уравнение силы Лоренца:
F = q(E + v × B)
Это демонстрирует согласованность специальной теории относительности с классической электродинамикой и подчёркивает её фундаментальную обобщающую роль.