Уравнения Эйнштейна и динамика метрики
Ключевым математическим инструментом, описывающим эволюцию пространства-времени в рамках общей теории относительности, являются уравнения Эйнштейна:
$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$
где $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R$ — тензор Эйнштейна, Rμν — риччиев тензор, R — скалярная кривизна, gμν — метрика пространства-времени, Λ — космологическая постоянная, Tμν — тензор энергии-импульса вещества.
Метрика gμν подчиняется нелинейным гиперболическим уравнениям в частных производных. Их решение требует задание начальных данных на пространственно-подобной гиперповерхности. Эти начальные данные включают:
Начальные данные не произвольны: они обязаны удовлетворять четырём уравнениям сопряжения (ограничениям Гамильтона и импульса), обеспечивающим согласованность динамики с диффеоморфной инвариантностью теории.
3+1 разложение и формализм Арновитта–Дезера–Мизнера (ADM)
Для описания эволюции пространства-времени удобно использовать 3+1 разложение, при котором пространство-время представляется как фолиация на пространственные гиперповерхности Σt, параметризованные временем t. Пространственно-временная метрика записывается как
ds2 = −α2dt2 + hij(dxi + βidt)(dxj + βjdt),
где α — лапс-функция, βi — шифт-вектор, hij — метрика на Σt.
Уравнения Эйнштейна в этом разложении приводят к системе эволюционных уравнений для hij и Kij, а также к уравнениям ограничений:
Гамильтоново ограничение:
$$ R + K^2 - K_{ij}K^{ij} = \frac{16\pi G}{c^4} \rho, $$
Импульсные ограничения:
$$ D_j (K^{ij} - h^{ij} K) = \frac{8\pi G}{c^4} j^i, $$
где R — скалярная кривизна гиперплоскости Σt, Dj — ковариантная производная, связанная с hij, ρ и ji — плотности энергии и потока импульса.
Ковариантное описание гравитационной эволюции
В ковариантном подходе исследуют эволюцию геометрических инвариантов: скалярной кривизны, инвариантов Вейля и риччиевых компонент, а также их производных. Используются тензоры деформации, скорости расширения и сдвига, а также конгруэнции наблюдателей.
Одним из ключевых уравнений является уравнение Рэячаудхури для безвращательной конгруэнции наблюдателей с 4-скоростью uμ:
$$ \frac{d\theta}{d\tau} = -\frac{1}{3}\theta^2 - \sigma_{\mu\nu} \sigma^{\mu\nu} + \omega_{\mu\nu} \omega^{\mu\nu} - R_{\mu\nu}u^\mu u^\nu, $$
где θ — скаляр расширения, σμν — тензор сдвига, ωμν — тензор вращения.
Для пылевого вещества (p = 0, ωμν = 0), это уравнение иллюстрирует сжатие конгруэнции в результате гравитационного притяжения и ведёт к фокусировке геодезических.
Космологическая эволюция: модели Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (FLRW)
При предположении однородности и изотропии пространство-время описывается метрикой FLRW:
$$ ds^2 = -dt^2 + a^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) \right], $$
где a(t) — масштабный фактор, k = 0, ±1 — параметр кривизны.
Уравнения Эйнштейна приводят к уравнениям Фридмана:
Первое уравнение:
$$ \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2} + \frac{\Lambda}{3}, $$
Второе уравнение:
$$ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p) + \frac{\Lambda}{3}, $$
где ρ и p — средняя плотность энергии и давление во Вселенной. Эти уравнения описывают эволюцию Вселенной: расширение, замедление или ускорение, в зависимости от состава материи и величины Λ.
Анизотропные и неоднородные модели: эволюция вне симметрий
Реалистичная эволюция включает отклонения от симметрии. Анизотропные модели, такие как Бианки I-IX, обобщают FLRW-метрику, допуская различную скорость расширения вдоль разных направлений. Например, в модели Бианки I:
ds2 = −dt2 + a12(t)dx2 + a22(t)dy2 + a32(t)dz2.
Эволюция таких моделей подчиняется обобщённым уравнениям Фридмана и демонстрирует интересные явления, включая космологические сингулярности и возможное “изотропизирование” в поздние времена.
Неоднородности, описываемые метриками типа Леметра–Толмена–Бонди или моделями с космологическими возмущениями, приводят к сложной динамике с образованием структур и гравитационным коллапсом. Их анализ требует численного моделирования эволюции метрики.
Численная эволюция и коллапс
При отсутствии аналитических решений динамика пространства-времени исследуется численно. В численной релятивистике используется 3+1 формализм, где уравнения преобразуются в систему эволюционных уравнений для метрики и её производных. Расчёты включают:
Разработка устойчивых численных схем требует выбора подходящих калибровок (лапса и шифта), граничных условий и регуляризации сингулярностей (например, через метод “black hole excision”).
Горизонты и каузальная структура при эволюции
Эволюция пространства-времени сопровождается формированием каузальных границ — горизонтов событий, кажущихся горизонтов и изотропных горизонтов. Их определение и поведение зависят от глобальной структуры решения. Поверхность с нулевым светоподобным градиентом функции расстояния служит локальным горизонтом, а горизонт событий определяется как граница причинного прошлого будущей бесконечности.
Геометрия этих поверхностей, их топология и динамика определяются уравнениями фокусировки и анализом конгруэнций. При наличии коллапса пространство-время может развиваться в область со сингулярностями, где геодезическая неполнота сигнализирует об окончании классической эволюции.
Квантовые аспекты эволюции: влияние флуктуаций и энтропии
На ранних стадиях, когда кривизна велика, необходимо учитывать квантовые эффекты. Возникают флуктуации метрики и квантовая нестабильность фона. В подходах типа петлевой квантовой гравитации или квантовой космологии Хартла–Хокинга осуществляется квантизация геометрии и рассматривается “волновая функция Вселенной”, удовлетворяющая уравнению Уилера–ДеВитта:
ĤΨ[hij] = 0.
Эволюция пространства-времени в этом контексте становится безвременной и описывается скорее корреляциями между геометрическими переменными.
Квантовые эффекты также приводят к излучению горизонтов (излучение Хокинга) и термодинамическому описанию эволюции через энтропию, связанную с площадью горизонта:
$$ S = \frac{k c^3 A}{4 G \hbar}, $$
что связывает микроскопическую квантовую структуру пространства-времени с макроскопической эволюцией геометрии.
Общая характеристика динамической геометрии
Эволюция пространства-времени в общей теории относительности — это самосогласованная динамика метрики, определяемая как распределением материи, так и собственным гравитационным содержанием. Эта эволюция охватывает широкий спектр явлений — от космологического расширения и образования структур до гравитационного коллапса и сингулярностей.
Фундаментальное отличие от ньютоновской физики состоит в том, что сама геометрия — не статическое арена, а активный участник динамики. Пространство-время изменчиво, откликается на энергию, импульс и давление, а также содержит в себе потенциал для описания горизонтов, флуктуаций и процессов на границе с квантовым миром.