Общие положения и мотивация модификации ОТО
В рамках общей теории относительности (ОТО) действие гравитационного поля задано так называемым гильбертовским лагранжианом, линейным по скалярной кривизне R. Однако линейность по R не является строго необходимым требованием, исходя из принципов диффеоморфной инвариантности и второго порядка производных метрики. Изменение формы лагранжиана может быть мотивировано как теоретическими, так и феноменологическими соображениями: желание объяснить позднее ускоренное расширение Вселенной без введения тёмной энергии, попытки построения квантово-устойчивых моделей гравитации, а также стремление к устранению сингулярностей.
Один из простейших путей модификации — замена лагранжиана R на произвольную функцию f(R), что приводит к классу так называемых f(R)-гравитационных теорий. Эти теории сохраняют ковариантность, остаются метрическими, но обладают более богатой динамикой по сравнению с ОТО.
Действие и вариационный принцип
Общее действие в f(R)-гравитации в метрическом подходе имеет вид:
$$ S = \frac{1}{2\kappa^2} \int d^4x \sqrt{-g} \, f(R) + S_\text{m}[g_{\mu\nu}, \Psi], $$
где:
Вариируя действие по метрике, получаем обобщённые уравнения гравитационного поля:
$$ f'(R) R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} f(R) g_{\mu\nu} - \nabla_\mu \nabla_\nu f'(R) + g_{\mu\nu} \Box f'(R) = \kappa^2 T_{\mu\nu}, $$
где:
Эти уравнения содержат производные метрики до четвёртого порядка, что отражает наличие дополнительных степеней свободы по сравнению с ОТО.
Следствие уравнений: дополнительная скалярная степень свободы
Важным свойством f(R)-теорий является возможность их переписывания в эквивалентной скалярно-тензорной форме. Вводим вспомогательное поле ϕ ≡ f′(R) и переписываем действие в форме:
$$ S = \int d^4x \sqrt{-g} \left[ \frac{1}{2\kappa^2} \left( \phi R - V(\phi) \right) + \mathcal{L}_\text{m} \right], $$
где потенциал определяется как:
V(ϕ) = ϕR(ϕ) − f(R(ϕ)).
Таким образом, теория f(R) эквивалентна скалярно-тензорной теории с нулевым параметром Брэнса-Дике (ω = 0), но с ненулевым потенциалом. Эта скалярная степень свободы отвечает за дополнительную динамику, особенно важную в космологических приложениях.
Космология в f(R)-гравитации
Рассмотрим однородную и изотропную Вселенную с метрикой Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (FLRW):
$$ ds^2 = -dt^2 + a(t)^2 \left( \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 d\Omega^2 \right), $$
где a(t) — масштабный фактор. Тогда уравнения движения приводят к модифицированным уравнениям Фридмана. В частности, обобщённое первое уравнение Фридмана принимает вид:
$$ 3H^2 = \frac{1}{f'(R)} \left[ \kappa^2 \rho + \frac{1}{2} (f'(R) R - f(R)) - 3H \dot{f}'(R) \right], $$
где H = ȧ/a — параметр Хаббла. Таким образом, геометрическая часть может эффективно играть роль тёмной энергии и приводить к ускоренному расширению.
Примеры моделей f(R)
Модель Старобинского
f(R) = R + αR2
Это одна из первых инфляционных моделей. В ней скалярная степень свободы (инфлатон) обеспечивает ускоренное расширение в ранней Вселенной. Модель хорошо согласуется с наблюдаемыми спектрами флуктуаций КМБ.
Модель с инверсной кривизной
$$ f(R) = R - \frac{\mu^4}{R} $$
Предлагает объяснение позднего ускоренного расширения без введения космологической постоянной. Однако страдает от нестабильности и конфликтов с локальными тестами гравитации.
Модель Ху–Савы
$$ f(R) = R - \mu R_c \frac{(R/R_c)^n}{1 + (R/R_c)^n} $$
Позволяет достичь желаемой космологической динамики, включая эпоху ускоренного расширения, и согласуется с тестами в Солнечной системе за счёт механизма экранирования (chameleon).
Солнечно-системные и астрофизические тесты
f(R)-гравитация обязана воспроизводить хорошо подтверждённые предсказания ОТО в слабом поле. Однако наличие дополнительной скалярной степени свободы может приводить к заметным отклонениям. Решения в статических сферически-симметричных системах (например, вокруг Солнца) дают модифицированную метрику Шварцшильда, зависящую от функциональной формы f(R).
Важнейшим механизмом, обеспечивающим соответствие эксперименту, является экранирующий механизм. В частности, так называемый механизм хамелеона позволяет скалярному полю эффективно «замораживаться» в областях с высокой плотностью, тем самым исключая его влияние в лабораторных и астрофизических условиях.
Структура степеней свободы и устойчивость
Динамическая устойчивость модели требует, чтобы в спектре линейных возмущений отсутствовали тахионы и призраки. Это накладывает условия:
Нарушение этих условий приводит к неустойчивости фона и экспоненциальному росту флуктуаций, разрушающих решение.
Квантово-полевые аспекты
С точки зрения эффективной квантовой теории поля, лагранжиан f(R) можно рассматривать как первый шаг к учёту квантовых поправок. Линейная по R часть — это классическое действие, а нелинейные — проявления радиационных поправок. При этом члены R2, RμνRμν и подобные естественно возникают в одном-петлевом эффективном действии на кривом фоне.
Тем не менее, обобщённые f(R)-модели обладают проблемами ренормализуемости и могут приводить к возникновению остроносных полей (ghosts) при квантовании.
Связь с другими теориями гравитации
Роль в современной космологии и астрофизике
f(R)-теории активно исследуются в контексте:
Некоторые модификации могут частично или полностью воспроизводить MOND-подобное поведение, обеспечивая альтернативу тёмной материи в рамках гравитационного сектора.
Выводы из экспериментальных ограничений
Наблюдательные данные (из Солнечной системы, двойных пульсаров, гравитационно-линзированных систем, спектров КМБ и БАО) накладывают строгие ограничения на возможные формы функции f(R). Практически допустимыми остаются только те модели, которые в области высокой кривизны (например, вблизи звёзд и планет) стремятся к стандартной линейной форме f(R) ≈ R, а в космологическом масштабе проявляют отклонения, приводящие к наблюдаемому ускорению.
Такой баланс между космологической эффективностью и локальной согласованностью делает f(R)-гравитацию мощным инструментом в поиске обобщённой теории гравитации.