Физические константы в гравитационной физике
Гравитационная постоянная G — ключевая величина, определяющая силу притяжения между двумя массами в ньютоновской теории тяготения:
$$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $$
Её численное значение:
G ≈ 6, 67430 × 10−11 м3 ⋅ кг−1 ⋅ с−2
Она имеет статус одной из наименее точно измеренных фундаментальных констант. Это связано с крайней слабостью гравитационного взаимодействия по сравнению с остальными фундаментальными силами, а также с трудностями точного экспериментального определения через макроскопические массы.
Методы измерения включают торсионные маятники (эксперименты Кавендиша и его современные модификации), маятниковые системы, атомные интерферометры и Cavendish-style torsion balance.
Из-за важности G в уравнениях ОТО, космологических моделях и общей теории поля, её точность определяет границы точности широкого класса теоретических предсказаний.
Скорость света в вакууме c играет центральную роль в общей теории относительности. Она фиксирована определением:
c = 299, 792, 458 м/с
Эта величина не подлежит экспериментальному уточнению, так как метр определён через c. В гравитационной физике c связывает пространство и время в единую четырёхмерную структуру. В уравнениях Эйнштейна:
$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
величина c4 играет роль масштабного множителя, существенно влияющего на связь между кривизной пространства-времени и распределением материи-энергии.
Также c задаёт предельную скорость распространения гравитационных взаимодействий, что подтвердилось наблюдениями гравитационно-волновых событий (например, GW170817).
Постоянная Планка h и особенно её редуцированная форма $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ приобретают значение в квантовой гравитации, несмотря на то, что классическая теория гравитации не содержит их явно.
Значения:
h ≈ 6, 62607015 × 10−34 Дж ⋅ с, ℏ ≈ 1, 054571817 × 10−34 Дж ⋅ с
Они необходимы при определении планковских единиц, включая планковскую длину, массу и время:
Планковская длина:
$$ l_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} \approx 1{,}616255 \times 10^{-35} \ \text{м} $$
Планковское время:
$$ t_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \approx 5{,}391247 \times 10^{-44} \ \text{с} $$
Планковская масса:
$$ m_P = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}} \approx 2{,}176434 \times 10^{-8} \ \text{кг} $$
Эти величины указывают на фундаментальные пределы применимости непрерывных моделей пространства-времени. На масштабах порядка lP и tP ожидается проявление квантово-гравитационных эффектов, таких как флуктуации метрического тензора или формирование микроскопических чёрных дыр.
Космологическая константа Λ была введена Эйнштейном в модифицированное уравнение гравитационного поля:
$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
Она интерпретируется как энергия вакуума или тёмная энергия, вызывающая ускоренное расширение Вселенной. Современные наблюдения (Supernova Ia, CMB, LSS) дают оценку:
Λ ∼ 1, 1 × 10−52 м−2
Связь с плотностью энергии вакуума:
$$ \rho_\Lambda = \frac{\Lambda c^2}{8\pi G} $$
Несмотря на чрезвычайную малость, её вклад доминирует в энергетическом балансе современной Вселенной. Различие между наблюдаемым и предсказанным квантовыми теориями значением Λ — одна из самых серьёзных проблем современной теоретической физики, называемая проблемой космологической постоянной.
В гравитационно-волновой физике особое значение приобретают производные от G, c, участвующие в формуле квадрупольного излучения:
$$ P = \frac{G}{5c^5} \left\langle \dddot{Q}_{ij} \dddot{Q}^{ij} \right\rangle $$
где Qij — тензор квадрупольного момента. Здесь видно, что мощность гравитационного излучения масштабируется как 1/c5, что указывает на крайне слабую эмиссию в сравнение с электромагнитным излучением.
Также, в системах с сильными полями (двойные нейтронные звёзды, чёрные дыры), значения комбинаций Gm/c2 определяют радиусы горизонта и особенности излучения.
В гравитационной физике широко используются безразмерные комбинации физических констант. Пример — гравитационный радиус:
$$ r_g = \frac{2Gm}{c^2} $$
Он определяет радиус горизонта событий для невращающейся чёрной дыры. Безразмерная форма:
$$ \frac{r_g}{r} = \frac{2Gm}{rc^2} $$
появляется в решениях Шварцшильда и описывает степень искривления геометрии.
Также важен параметр компактности астрофизических объектов:
$$ \mathcal{C} = \frac{GM}{Rc^2} $$
где M — масса объекта, R — радиус. Для нейтронных звёзд ???? ∼ 0, 2, а для чёрных дыр — максимальное значение ???? = 0, 5.
Несмотря на высокий прогресс метрологии, измерения гравитационных констант сопровождаются существенными трудностями. В отличие от, например, постоянной Планка или скорости света, которые определяются с относительной точностью до 10−9 и выше, G известна с точностью лишь около 10−5. Современные эксперименты показывают расхождения в значениях, что может свидетельствовать либо о методических ошибках, либо о фундаментальных ограничениях.
Эта неопределённость напрямую влияет на вычисления:
В альтернативных теориях (например, скалярно-тензорные теории, теория Бранса–Дикке, f(R)-гравитация) гравитационная постоянная может зависеть от скалярного поля, а космологическая постоянная может быть функцией времени. Это приводит к введению эффективных гравитационных констант:
Geff(xμ), Λeff(t)
что влияет на ход космологической эволюции, образование структур, поведение чёрных дыр.
В гравитационной теории часто используют естественные системы единиц, в которых фундаментальные константы принимают значение 1. Например, в планковской системе:
G = c = ℏ = 1
Это упрощает уравнения и выявляет фундаментальные зависимости между физическими величинами. В таких системах, например, гравитационный радиус и масса чёрной дыры численно совпадают.
Использование этих систем особенно удобно при разработке квантово-гравитационных моделей, в струнной теории и петлевой квантовой гравитации, где размерности всех величин выражаются через степень планковской длины.