Формализм Арнова-Дезера-Мизнера (ADM)
Проблема канонического формализма в общей теории относительности
Общая теория относительности (ОТО), сформулированная Эйнштейном, представляет собой динамическую теорию геометрии пространства-времени. Её уравнения — это системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка относительно метрического тензора. Однако классическая формулировка не приспособлена напрямую к анализу эволюции начальных данных или к каноническому квантованию, поскольку в ОТО отсутствует однозначное разделение между пространственными и временными координатами. Это делает затруднительным переход к гамильтоновому описанию.
Формализм ADM, разработанный Ричардом Арновом, Стэнли Дезером и Чарльзом Мизнером в 1959–1962 гг., устраняет эту проблему путём 3+1-разложения пространства-времени. Он вводит структуру, в которой четырёхмерное многообразие расщепляется на последовательность трёхмерных пространственных гиперповерхностей, что позволяет описывать гравитационную динамику как эволюцию геометрии в “времени”.
3+1-разложение пространства-времени
Пусть ℳ — четырёхмерное псевдориманово многообразие с метрикой gμν сигнатуры (−, +, +, +). Формализм ADM предполагает, что ℳ можно фолировать однопараметрическим семейством трёхмерных гиперповерхностей Σt, параметризованных координатой t. Каждая гиперповерхность Σt представляет собой “пространство в момент времени t”.
Разложение метрики
Метрика gμν в ADM формализме выражается через:
Метрика принимает вид:
ds2 = −N2dt2 + hij(dxi + Nidt)(dxj + Njdt)
Таким образом, компоненты полной метрики выражаются как:
g00 = −N2 + hijNiNj, g0i = hijNj, gij = hij
Геометрия гиперповерхностей и внешняя кривизна
На каждой гиперповерхности Σt определяется внешняя кривизна Kij, характеризующая, как Σt встраивается в ℳ. В терминах производной по нормали к срезу nμ, она задаётся как:
$$ K_{ij} = -\frac{1}{2N} \left( \partial_t h_{ij} - \nabla_i N_j - \nabla_j N_i \right) $$
где ∇i — ковариантная производная, совместимая с hij.
Гамильтонов формализм: переменные и канонические уравнения
ADM формализм позволяет построить лагранжиан и гамильтониан для гравитационного поля. Каноническими переменными являются:
$$ \pi^{ij} = \sqrt{h}(K^{ij} - h^{ij}K) $$
где K = hijKij, а h = det (hij).
Полный гамильтониан принимает вид:
H = ∫Σtd3x(Nℋ + Niℋi)
где:
$$ \mathcal{H} = \frac{1}{\sqrt{h}} \left( \pi^{ij} \pi_{ij} - \frac{1}{2} \pi^2 \right) - \sqrt{h} R^{(3)} $$
ℋi = −2∇jπij
где R(3) — трёхмерное скалярное кривизны, а π = hijπij.
Эти ограничения выражают диффеоморфную инвариантность теории: ℋ = 0, ℋi = 0.
Канонические уравнения движения
Эволюция канонических переменных задаётся уравнениями Гамильтона:
$$ \partial_t h_{ij} = \frac{\delta H}{\delta \pi^{ij}}, \quad \partial_t \pi^{ij} = -\frac{\delta H}{\delta h_{ij}} $$
Система вместе с уравнениями ограничений полностью описывает динамику гравитационного поля.
Роль ADM формализма в численной и квантовой гравитации
ADM формализм является основой численной относительности, где начальные данные эволюционируются во времени. Разложение 3+1 позволяет решать задачи эволюции бинарных чёрных дыр, моделировать гравитационные волны и предсказывать наблюдаемые сигналы, как это было реализовано в анализе детекций LIGO.
В каноническом квантовании ADM переменные легли в основу программы квантования гравитации, предложенной Б. ДеВиттом, и более поздних подходов, таких как петлевая квантовая гравитация.
Сравнение с лагранжевым подходом
В отличие от исходной лагранжевой формулировки, где тензор Эйнштейна выводится как уравнение движения из действия Гильберта, ADM формализм делает упор на начальные условия и эволюционные уравнения, тем самым приближая структуру ОТО к структуре классической механики и квантовой теории поля.
Важно отметить, что ADM формализм приводит к системе с ограничениями, и физические степени свободы гравитационного поля — это не шесть компонент hij, а только две независимые моды, соответствующие двум поляризациям гравитационной волны.
Границы и условия на бесконечности
Для корректной формулировки гамильтониана в некомпактных пространствах (например, в асимптотически плоском пространстве) необходимо добавить поверхностные члены, чтобы обеспечить конечность действия и корректное определение энергии. ADM масса (или энергия) гравитационного поля определяется через асимптотику метрики:
$$ M_{ADM} = \lim_{r \to \infty} \frac{1}{16\pi} \int_{S^2} (\partial_j h_{ij} - \partial_i h_{jj}) n^i dS $$
Эта величина играет важную роль в классификации состояний и динамике в изолированных системах.
Связь с формализмом Аштекара
Позднейшие работы по квантовой гравитации использовали модификации ADM переменных, в частности переменные Аштекара, в которых основными переменными выступают тетраэдры и связности SU(2). Это позволило развить формализм петлевой квантовой гравитации. Хотя переменные Аштекара являются комплексными, они сохраняют дух ADM формализма: построение теории как динамики на пространстве конфигураций с ограничениями.
Применения и обобщения
Формализм ADM может быть обобщён на:
ADM формализм также лежит в основе подходов к гравитации как системе с динамическими ограничениями, применяя техники теории Дирака для обобщенных гамильтоновых систем.
Ключевые особенности формализма ADM