Гравитационные волны — это рябь в кривизне пространства-времени, распространяющаяся со скоростью света, возникающая в результате ускоренного движения масс. Их существование является прямым следствием уравнений Эйнштейна в общей теории относительности. В линейном приближении, где возмущения метрики малы, уравнения Эйнштейна приводят к волновому уравнению для тензора возмущений hμν, распространяющегося в плоском пространстве Минковского:
$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
где □ ≡ ηρσ∂ρ∂σ — оператор Даламбера, Tμν — тензор энергии-импульса источника, а h̄μν — следосвободный тензор возмущений в калибровке Лоренца:
$$ \bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \eta_{\mu\nu} h, \quad \partial^\mu \bar{h}_{\mu\nu} = 0 $$
Вне источника, где Tμν = 0, волновое уравнение принимает вид:
□h̄μν = 0
что описывает свободное распространение гравитационных волн в вакууме.
Основной механизм генерации гравитационных волн в астрофизике — это изменение квадрупольного момента распределения массы. Поскольку ни монопольное (сохранение массы), ни дипольное (закон сохранения импульса) излучение в гравитации невозможны, ведущий порядок излучения — квадрупольный.
Квадрупольная формула мощности гравитационного излучения:
$$ P = \frac{G}{5c^5} \left\langle \dddot{Q}_{ij} \dddot{Q}^{ij} \right\rangle $$
где Qij — тензорный квадрупольный момент распределения массы:
$$ Q_{ij}(t) = \int \rho(\mathbf{x}, t) \left( x_i x_j - \frac{1}{3} \delta_{ij} r^2 \right) d^3x $$
и тройная точка означает третью производную по времени. Угловые скобки обозначают усреднение по времени.
Гравитационные волны — это тензорные поперечные волны со спином 2. Они имеют два независимых поляризационных состояния: плюс- и крест-поляризации. Волна, распространяющаяся вдоль оси z, имеет ненулевые компоненты тензора hij только в поперечном x-y сечении. В поперечно-трасверсальной (TT) калибровке:
$$ h_{ij}^{TT}(t, z) = \begin{pmatrix} h_+ & h_\times & 0 \\ h_\times & -h_+ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cos\left( \omega t - kz \right) $$
где h+ и h× — амплитуды двух поляризаций.
Особый интерес представляют двойные компактные системы: двойные нейтронные звезды, чёрные дыры или их комбинации. Пусть две массы m1 и m2 обращаются по круговой орбите с радиусом R и угловой частотой ω. В этом случае квадрупольная формула приводит к следующему выражению для мощности излучения:
$$ P = \frac{32}{5} \frac{G^4}{c^5} \frac{(m_1 m_2)^2 (m_1 + m_2)}{R^5} $$
Со временем система теряет энергию, радиус орбиты уменьшается, и частота обращения растёт — система “спирализуется”. Частота гравитационного излучения вдвое превышает орбитальную частоту:
$$ f_{GW} = \frac{\omega}{\pi} $$
Такое поведение наблюдалось, например, в знаменитой системе PSR B1913+16, за что Халс и Тейлор получили Нобелевскую премию (1993).
Гравитационные волны генерируются не только устойчивыми системами, но и при катастрофических процессах:
Типичная амплитуда гравитационных волн от астрофизических источников на расстоянии R от наблюдателя порядка:
$$ h \sim \frac{G}{c^4} \frac{\ddot{Q}}{R} \sim \frac{G}{c^4} \frac{M v^2}{R} $$
Например, при слиянии двух чёрных дыр массой по 30M⊙, находящихся на расстоянии 400 Мпк, амплитуда волны достигает h ∼ 10−21, что соответствует относительным смещениям в интерферометре на уровне 10−18 м.
Генерация гравитационных волн требует учёта постньютоновских поправок. В частности:
В ранней Вселенной возможно существование стохастического фона гравитационных волн, возникающего в результате:
Такие волны характеризуются спектральной плотностью энергии:
$$ \Omega_{GW}(f) = \frac{1}{\rho_c} \frac{d\rho_{GW}}{d\ln f} $$
где ρc — критическая плотность Вселенной.
При высоких амплитудах гравитационные волны могут взаимодействовать между собой, с источником и фоновым пространством-временем:
В задачах, где поле сильно и нелинейно (например, в слияниях чёрных дыр), требуется полное численное решение уравнений Эйнштейна:
Численная относительность позволила предсказать форму сигналов, наблюдаемых LIGO/Virgo.
Будущие источники, детектируемые перспективными детекторами:
Гравитационные волны предоставляют новое окно в исследование Вселенной, включая скрытые массы, фазовые переходы и квантовые гравитационные эффекты.