Геодезические линии в римановом пространстве-времени
Пусть в гладком четырёхмерном многообразии ℳ, снабжённом псевдоримановой метрикой gμν, рассматривается кривая xμ(λ), параметризованная некоторым гладким параметром λ. Геодезической линией называется такая кривая, которая экстремизирует длину (или эквивалентно, действие) этой кривой. Уравнение геодезической линии получается из принципа наименьшего действия для свободной частицы:
$$ \delta \int d\lambda \, \sqrt{-g_{\mu\nu}(x)\, \frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}} = 0. $$
Это приводит к уравнению Эйлера–Лагранжа, в результате которого получается основное уравнение геодезических:
$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\lambda} \frac{dx^\rho}{d\lambda} = 0, $$
где Γνρμ — коэффициенты аффинной связности Леви-Чивиты, определяемые через метрический тензор:
$$ \Gamma^\mu_{\nu\rho} = \frac{1}{2}g^{\mu\sigma} \left( \partial_\nu g_{\rho\sigma} + \partial_\rho g_{\nu\sigma} - \partial_\sigma g_{\nu\rho} \right). $$
Это уравнение описывает траекторию частицы, движущейся исключительно под действием геометрии пространства-времени, без каких-либо внешних сил.
В специальной теории относительности свободная частица движется по прямой линии с постоянной четырёх-скоростью. Геодезическая линия в ОТО — это обобщение прямой линии на криволинейное пространство-время. В малом, в локально инерциальной системе координат, геодезические выглядят как прямые, что соответствует локальной валидности принципа эквивалентности.
Параметр λ в уравнении геодезической называется аффинным, если уравнение принимает канонический вид:
$$ \frac{D u^\mu}{d\lambda} = 0, \quad \text{где } u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\lambda}. $$
Если параметр не является аффинным, в уравнение добавляется дополнительный член:
$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\lambda} \frac{dx^\rho}{d\lambda} = f(\lambda) \frac{dx^\mu}{d\lambda}, $$
где f(λ) — некоторая скалярная функция параметра. Однако всегда можно выбрать параметр так, чтобы свести уравнение к аффинной форме.
Геодезические являются экстремалями длины (или интервала) между двумя точками. В случае тимподобных траекторий, геодезическая максимизирует собственное время:
$$ \tau = \int_{A}^{B} \sqrt{-g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}} \, d\lambda. $$
В случае пространственноподобных кривых геодезическая минимизирует расстояние. Таким образом, геодезические играют фундаментальную роль как физически реализуемые траектории для свободных частиц.
Пусть xμ(λ) и xμ(λ) + ξμ(λ) — две близкие геодезические. Тогда отклонение между ними описывается уравнением геодезического отклонения:
$$ \frac{D^2 \xi^\mu}{d\lambda^2} = - R^\mu_{\ \nu\rho\sigma} u^\nu u^\rho \xi^\sigma, $$
где R νρσμ — тензор кривизны Римана, $u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\lambda}$ — касательный вектор к геодезической, а ξμ — вектор отклонения. Это уравнение описывает, как близкие геодезические расходятся или сходятся из-за кривизны пространства-времени, что является физической сущностью приливных сил.
В псевдоримановой геометрии различают три типа геодезических:
Нулевые геодезические обладают фундаментальным значением в построении конформной структуры и в определении горизонтов событий.
Для примера рассмотрим метрику вне сферически симметричного невращающегося тела:
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{r} \right) dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{r} \right)^{-1} dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2). $$
Геодезические в этом пространстве удовлетворяют сложной системе уравнений, но из-за симметрии можно выделить константы движения (энергию и момент импульса), что приводит к эффективному потенциалу для радиальной компоненты геодезической:
$$ \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^2 + V_{\text{eff}}(r) = E^2, $$
с потенциалом, зависящим от r, углового момента и типа геодезической. Это позволяет анализировать орбиты частиц и фотонов, включая нестабильные круговые орбиты и гравитационное линзирование.
Многообразие считается геодезически полным, если всякая геодезическая может быть продолжена на всём множестве значений аффинного параметра. В противном случае пространство-время содержит сингулярности. Теоремы Пенроуза и Хокинга устанавливают, что в присутствии определённых условий (например, положительная плотность энергии) гравитационное коллапсирующее пространство-время обязательно приведёт к геодезической неполноте.
Существует локальная система координат (геодезическая нормальная система), в которой через каждую точку проходит геодезическая, и в которой:
gμν(x) = ημν + ????(x2), Γνρμ(0) = 0.
Такие координаты позволяют локально “выпрямить” геодезические и сделать метрический тензор максимально приближённым к метрике Минковского, что отражает принцип эквивалентности.
Альтернативно, уравнение геодезической может быть выведено как уравнение Эйлера–Лагранжа из лагранжиана:
$$ L = \frac{1}{2} g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}, $$
что даёт эквивалентное уравнение движения, но теперь с возможностью использовать произвольный параметр λ. Такое представление удобно в квантовой теории поля на искривлённом фоне и в действиях, где участвуют не только метрика, но и дополнительные поля.
Геодезические — это линии, по которым свободно движется частица в искривлённом пространстве-времени. Их поведение диктуется исключительно геометрией: никакие “силы” в обычном смысле не действуют. Геодезические отражают фундаментальное утверждение общей теории относительности: гравитация — это проявление кривизны пространства-времени, а не сила в традиционном смысле.
На уровне наблюдений геодезические проявляются в орбитах тел в гравитационных полях, в отклонении света массивными объектами, в приливных силах и в динамике расширяющейся Вселенной.