Основная идея геометризации гравитации
В классической физике гравитационное взаимодействие рассматривается как сила, действующая на тела пропорционально их массам. Эта концепция была выражена в ньютоновской теории гравитации, где гравитация — это сила, передающаяся мгновенно через пустое пространство. Однако в общей теории относительности (ОТО) гравитация интерпретируется совершенно иначе: как проявление кривизны пространства-времени. Это и есть суть геометризации гравитации.
Согласно принципу эквивалентности, невозможно локально отличить действие гравитации от действия ускорения. Это приводит к фундаментальной идее, что свободно падающие тела движутся по геодезическим линиям в искривлённом пространстве-времени, аналогично тому, как в евклидовой геометрии прямолинейное движение происходит по кратчайшему пути. Таким образом, геометризация означает замену гравитационной силы на геометрическое свойство — кривизну метрики пространства-времени.
Математическая формализация: псевдориманова геометрия
Для описания геометрических свойств пространства-времени используется псевдориманова геометрия, где метрический тензор gμν задаёт расстояние между бесконечно близкими точками и определяет геометрию мира. В такой геометрии пространство-время обладает локальной метрикой, которая может меняться от точки к точке.
Метрический тензор позволяет определять:
интервал между событиями:
ds2 = gμνdxμdxν,
длину кривых, углы, объёмы,
движение частиц по геодезическим,
и, в конечном счёте, гравитационное взаимодействие как следствие геометрии.
Связность и ковариантная производная
Поскольку пространство-время искривлено, обычные производные не сохраняют тензорный характер объектов при переходе между системами координат. Вводится ковариантная производная, которая зависит от аффинной связности. В ОТО используется связность Леви-Чивиты:
$$ \Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma} \left( \partial_\mu g_{\sigma\nu} + \partial_\nu g_{\sigma\mu} - \partial_\sigma g_{\mu\nu} \right), $$
которая симметрична по нижним индексам и определяется только метрикой.
Ковариантная производная ∇μ позволяет дифференцировать тензоры так, чтобы результат оставался тензором.
Кривизна и тензоры кривизны
Кривизна пространства-времени количественно описывается с помощью тензора Римана:
R σμνρ = ∂μΓνσρ − ∂νΓμσρ + ΓμλρΓνσλ − ΓνλρΓμσλ.
Из него выводятся:
тензор Риччи:
Rμν = R μλνλ,
скаляр кривизны:
R = gμνRμν,
тензор Эйнштейна:
$$ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R, $$
который входит в уравнения Эйнштейна.
Уравнения Эйнштейна и геометрия
Основное уравнение ОТО связывает геометрию (тензор Эйнштейна) с материей (энергия и импульс, описываемые тензором энергии-импульса Tμν):
$$ G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}. $$
Это уравнение заменяет закон Ньютона. В нём гравитация больше не является силой, а материи и энергия диктуют, как пространство-время искривляется, а искривлённое пространство-время диктует, как движется материя.
Принцип общей ковариантности
Уравнения ОТО инвариантны относительно любых гладких (дифференцируемых) координатных преобразований — они написаны в тензорной форме. Это отражает глубокий принцип общей ковариантности: физические законы должны быть формулированы независимо от выбора координатной системы. Геометризация гравитации невозможна без строгого соблюдения этого принципа.
Геодезические уравнения
Движение свободной (без внешних не-гравитационных сил) частицы подчиняется геодезическим уравнениям:
$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\lambda} \frac{d x^\nu}{d\tau} \frac{d x^\lambda}{d\tau} = 0, $$
где τ — собственное время. Это уравнение обобщает второй закон Ньютона на искривлённое пространство-время и демонстрирует, как кривизна напрямую влияет на траекторию движения.
Параллельный перенос и эффект гравитации
В искривлённом многообразии результат параллельного переноса вектора зависит от пути. Это даёт возможность определить тензор кривизны через некоммутативность ковариантных производных:
[∇μ, ∇ν]Vλ = R σμνλVσ.
Таким образом, гравитация проявляется не через силу, а через изменение направления вектора при перемещении в пространстве-времени.
Локальные инерциальные системы и линейность уравнений движения
Несмотря на искривлённость в больших масштабах, в малом можно выбрать систему координат, в которой метрический тензор gμν становится локально равен метрике Минковского, а связности исчезают. Это обеспечивает эквивалентность с СТО в малом и даёт возможность локально описывать физику так же, как в плоском пространстве.
Принцип Маха и распределение массы
В рамках геометризации гравитации также ставится вопрос о связи инерции и гравитации. Принцип Маха утверждает, что инерциальные свойства тел определяются распределением массы и энергии во Вселенной. Это усиливает геометрическую интерпретацию, поскольку в уравнениях Эйнштейна геометрия определяется всей материей, а не локальными объектами.
Космологическая постоянная как геометрический член
Дополнительный геометрический элемент — космологическая постоянная Λ — может быть включён в уравнение Эйнштейна:
$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}. $$
Она представляет собой постоянное кривизну вакуума и влияет на глобальную геометрию Вселенной, что проявляется, например, в ускоренном расширении космоса.
Гравитационные волны как колебания геометрии
В линейном приближении (при слабом поле) уравнения Эйнштейна допускают волновые решения — гравитационные волны, распространяющиеся со скоростью света. Это реальные возмущения геометрии пространства-времени, не связанные с движением вещества, а отражающие динамическую природу самой геометрии.
Интерпретация геометризации гравитации
Таким образом, гравитация — это не сила в традиционном смысле, а проявление изменений геометрической структуры пространства-времени, вызванных распределением энергии и импульса. Геометризация гравитации означает, что всё гравитационное взаимодействие исходит не из взаимодействий на расстоянии, а из геометрии, которой подчиняется движение тел. Это фундаментальное переосмысление природы взаимодействий составляет один из краеугольных камней современной физики.