Гидродинамика в искривленном пространстве-времени

Общие уравнения гидродинамики в криволинейных системах отсчёта

Основу гидродинамики в искривлённом пространстве-времени составляет обобщение законов сохранения материи и энергии-импульса в рамках общей теории относительности. В этой формулировке ключевым объектом является тензор энергии-импульса T^μν, который должен удовлетворять уравнению:

∇_μT^μν = 0,

где ∇_μ — ковариантная производная, совместимая с метрикой пространства-времени. Это уравнение выражает локальное сохранение энергии и импульса в произвольной геометрии.

Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса принимает вид:

T^μν = (ρ + p)u^μu^ν + pg^μν,

где ρ — энергия в собственном (локальном покоящемся) объёме, p — давление, u^μ — четырёхскорость жидкости (с нормировкой u^μu_μ = −1), g^μν — метрический тензор.

Сохранение вещества выражается уравнением непрерывности:

∇_μ(ρ₀u^μ) = 0,

где ρ₀ — плотность покоящейся материи (не включая внутреннюю энергию).

Ковариантные уравнения Эйлера в искривлённой геометрии

Уравнение ∇_μT^μν = 0 при проецировании на направления, параллельные и ортогональные четырёхскорости u^μ, даёт два независимых уравнения: уравнение сохранения энергии и уравнение движения.

Проекция вдоль u_ν приводит к:

u_ν∇_μT^μν = −(ρ + p)∇_μu^μ − u^μ∇_μρ = 0,

что представляет собой обобщённое уравнение энергии.

Проекция ортогонально u^ν, с помощью тензора проектирования h^αν = g^αν + u^αu^ν, приводит к уравнению движения:

(ρ + p)u^μ∇_μu^α + h^αν∇_νp = 0.

Это уравнение можно рассматривать как обобщённую форму уравнения Эйлера для течения жидкости в произвольной геометрии.

Формулировка в координатном представлении

Для численных расчётов уравнения гидродинамики часто выражают в координатной форме. В этом случае тензорные уравнения записываются с использованием связности Христофеля Γ_μν^λ:

∂_μT^μν + Γ_μλ^μT^λν + Γ_μλ^νT^μλ = 0,

что позволяет учитывать влияние геометрии на поток энергии и импульса.

Уравнение сохранения массы:

$$ \partial_\mu (\sqrt{-g} \rho_0 u^\mu) = 0. $$

Здесь $\sqrt{-g}$ — корень определителя метрического тензора, обеспечивающий ковариантность объёма в интегральной форме закона сохранения.

Сравнение с ньютоновской гидродинамикой

В пределе слабо искривлённого пространства-времени и медленных скоростей (по сравнению со скоростью света) общерелятивистская гидродинамика переходит в ньютоновскую. В частности, тензор энергии-импульса в этом пределе редуцируется к плотности массы, энергии и потоку импульса, а ковариантные производные переходят в обычные.

Однако при сильной гравитации (например, вблизи нейтронных звёзд или в релятивистских джетах) релятовистская формулировка оказывается необходимой.

Энергетический поток и флюкс тензора энергии-импульса

Для анализа переноса энергии и импульса полезно ввести наблюдателя с четырёхскоростью n^μ (например, ортонормированный в ADM-формализме). Энергетическая плотность, наблюдаемая таким наблюдателем, определяется как:

E = T_μνn^μn^ν,

а поток энергии через гиперповерхность определяется как:

Sⁱ = −T_ν^μn_μγ^νi,

где γ^μν = g^μν + n^μn^ν — тензор, проектирующий на гиперповерхность t = const.

Гидродинамика в ADM-разложении

В численных расчётах широко используется ADM-формализм, в котором пространство-время расщепляется на трёхмерные срезы. Метрика записывается как:

ds² = −α²dt² + γ_ij(dxⁱ + βⁱdt)(dx^j + β^jdt),

где α — лапс-функция, βⁱ — шифт-вектор, γ_ij — пространственная метрика.

В этом формализме уравнения гидродинамики принимают вид системы уравнений сохранения в виде:

∂_tU + ∂_iFⁱ = S,

где:

• U — вектор консервативных переменных (например, плотность, импульс, энергия),
• Fⁱ — флюксы вдоль координатных направлений,
• S — источники, обусловленные геометрией и гравитацией.

Такая форма уравнений удобна для численной реализации с помощью современных методов вычислительной гидродинамики: схем высокой точности, TVD, ENO/WENO, дискретизаций на адаптивных сетках.

Частный случай: стационарная сферическая симметрия

Для сферически симметричных систем, например, коллапсирующих звёзд, уравнения существенно упрощаются. Метрика записывается в виде:

$$ ds^2 = -e^{2\Phi(r)} dt^2 + \left(1 - \frac{2m(r)}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2. $$

Уравнения гидростатического равновесия дают уравнение Толмана–Оппенгеймера–Волкова (TOV):

$$ \frac{dp}{dr} = -\frac{(\rho + p)(m + 4\pi r^3 p)}{r(r - 2m)}, $$

$$ \frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho. $$

Это уравнение описывает равновесие между гравитацией и давлением в релятивистских звёздах, и играет ключевую роль в моделировании нейтронных звёзд.

Анизотропия и вязкость

В случае, если жидкость неидеальна (например, вязкая или теплопроводная), тензор энергии-импульса обобщается:

T^μν = (ρ + p)u^μu^ν + pg^μν + π^μν,

где π^μν — вязкий тензор напряжений. В релятивистской теории вязкости необходимо учитывать причинность и устойчивость — задачи, решаемые, например, в теории Израэля-Стюарта.

Применения и роль в астрофизике

Релятивистская гидродинамика в искривлённом пространстве-времени является центральным инструментом в моделировании:

• слияний нейтронных звёзд и чёрных дыр;
• коллапса массивных звёзд (модели сверхновых);
• аккреции на компактные объекты;
• формирования джетов и релятивистских выбросов;
• ранней Вселенной (космологическая гидродинамика).

В этих задачах необходимо учитывать как сложную геометрию, так и нелинейную динамику жидкости, что требует сочетания общей относительности, теории поля и вычислительной физики.